మోండ్రియన్ పజిల్: పెరగడం ఆపేసిన అంతరం

డచ్ చిత్రకారుడు పీట్ మోండ్రియన్ ఎక్కువగా రంగుల దీర్ఘచతురస్రాలతో కూడిన తన De Stijl కళాకృతులకు బాగా ప్రసిద్ధుడు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు వాటిని పైకి సరళంగా కనిపించే ఒక పజిల్ కోసం అరువు తెచ్చుకున్నారు. భుజం n ఉన్న ఒక చతురస్రాకార కాన్వాసును తీసుకోండి. దాన్ని పూర్ణాంక భుజాలు గల, అంచులకు సమాంతరంగా ఉండే దీర్ఘచతురస్రాలుగా కోయండి. ఒకే నియమం: ఏ రెండు దీర్ఘచతురస్రాలూ ఒకే ఆకారంలో ఉండకూడదు, ఒకదాన్ని పావు వంతు తిప్పిన తర్వాత కూడా — 2 × 3, 3 × 2 ఒకే కాన్వాసుపై ఉండలేవు.

ఇప్పుడు వాటి వైశాల్యాలను పోల్చండి. అతిపెద్దదానికి, అతిచిన్నదానికి మధ్య తేడాయే లోపం (defect). అది ఎంత చిన్నగా ఉండగలదు అనేదే ప్రశ్న.

ఎవరూ కనుగొనని పరిపూర్ణ కోత

సున్నా లోపం ఉన్న కోత పరిపూర్ణమైనది: ఆకారంలో దీర్ఘచతురస్రాలన్నీ వేర్వేరు, అయినా అన్నింటి వైశాల్యం సరిగ్గా సమానం. సమాన వైశాల్యాలు ఒక్కటే సరిపోవు; ముక్కలు ఖాళీ గానీ ఒకదానిపై ఒకటి గానీ లేకుండా సరిగ్గా అమరాలి. ఏ చతురస్రానికైనా పరిపూర్ణ కోత ఉందో లేదో ఎవరికీ తెలియదు. 1,000 వరకు ప్రతి భుజానికీ అది తోసిపుచ్చబడింది, అలాంటిది లేదనేదే సాధారణ నమ్మకం.

ఆ నమ్మకం వెనుక మరింత విస్తృతమైన నమ్మకం ఉంది: సాధ్యమైనంత చిన్న లోపం, M(n) అని రాసేది, చతురస్రం పరిమాణంతో పాటు పెరుగుతుంది అని. n = 900 వరకు తెలిసిన ఉదాహరణలు అదే చెబుతున్నట్లు అనిపించాయి. సెప్టెంబర్ 2026 నాటి ఒక ప్రీప్రింట్‌లో, మరో బృందం మొదటి అల్పం కాని ఎగువ పరిమితిని నివేదించింది, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — ఇది ఇప్పటికీ అంతులేకుండా పెరగగల అంతరం.

ఏడు దీర్ఘచతురస్రాలు, √19

యూనివర్సిటీ ఆఫ్ సౌత్ ఫ్లోరిడాకు చెందిన కూపర్ ఓ’కూన్ (Cooper O’Kuhn), ఫ్రీమన్ స్లాటర్ (Freeman Slaughter) తెలిసిన ఒక విచిత్రం నుంచి మొదలుపెట్టారు: ఒక చతురస్రాన్ని సరిగ్గా సమాన వైశాల్యం గల ఏడు వేర్వేరు దీర్ఘచతురస్రాలుగా కోసే పద్ధతి. దాని చిక్కు ఏమిటంటే భుజాలు పూర్ణాంకాలు కావు; వాటిలో √19 అనే కరణీయ సంఖ్య ఉంటుంది.

వారి ఆలోచన √19 స్థానంలో దాన్ని అంతకంతకూ మెరుగ్గా ఉజ్జాయింపు చేసే p/q భిన్నాలను వాడటం. దానికి సరైన సాధనం సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో బాగా అధ్యయనం చేసిన ఒక సమీకరణం, పెల్ సమీకరణం: ఇక్కడ p² − 19q² స్థిరంగా ఉండాలి. ఆ ఎంపికతో భుజాలు పూర్ణాంకాలవుతాయి, వైశాల్యాల వ్యాప్తి ఆ స్థిర విలువపైనే ఆధారపడుతుంది — సంఖ్యలు ఎంత పెద్దవైనా దానిపై కాదు. లోపం సరిగ్గా **140 × |p² − 19q²|**కి సమానమని వారు చూపిస్తారు.

315 చతురస్రం

అతిచిన్న సందర్భం p = 13, q = 3ని వాడుతుంది, దీనికి 13² − 19 × 3² = −2. అది భుజం 315 ఉన్న చతురస్రాన్ని ఇలా కోసి ఇస్తుంది:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200, 112 × 125.

అతిపెద్ద వైశాల్యం 238 × 60 = 14,280; అతిచిన్నది 70 × 200 = 14,000. లోపం 280. ఏడు వైశాల్యాల మొత్తం 99,225, ఇది నిజంగానే 315 × 315.

ఎప్పటికీ 280

తర్వాత ఈ నిర్మాణం పునరావృతమవుతుంది. భుజాల పొడవులు ఒక సరళ నియమాన్ని అనుసరిస్తాయి: 315, తర్వాత 106,785, తర్వాత ప్రతి కొత్త భుజం దాని ముందుదానికి 340 రెట్లు, దాని ముందుదాన్ని తీసివేయగా వచ్చేది — 36,306,585, తర్వాత 12,344,132,115, ఇలా అంతులేకుండా. ఈ చతురస్రాల్లో ప్రతి ఒక్కదాన్నీ సరిగ్గా 280 లోపంతో ఏడు వేర్వేరు దీర్ఘచతురస్రాలుగా కోయవచ్చు.

కాబట్టి కనిష్ఠ లోపం పెరుగుతూ ఉండదు. రచయితల మాటల్లో, తగినంత పెద్దదైన ప్రతి చతురస్రానికీ M(n) కంటే కిందే ఉండే, అనంతం వైపు వెళ్లే ఏ ప్రమేయమూ — రేఖీయమైనా, సంవర్గమానమైనా, మరేదైనా — ఉండటం కూడా సాధ్యం కాదు. సమస్యను మొదట ప్రతిపాదించినప్పటి నుంచి అపరిష్కృతంగా ఉందని వారు వర్ణించే ఒక ఊహను ఇది తలకిందులు చేస్తుంది. అదే పద్ధతి యొక్క ఒక రూపాంతరం, ఏ పూర్ణాంకం k కైనా, భుజం k తో భాగించబడే, గరిష్ఠంగా 560 లోపం ఉండే అనంతమైన చతురస్రాలను ఇస్తుంది.

ఇంకా పరిపూర్ణ చతురస్రం లేదు

ఈ ఫలితం ఈ కుటుంబానికి వెలుపలి చతురస్రాల గురించి ఏమీ చెప్పదు, పరిపూర్ణ కోతను తోసిపుచ్చదు. ఈ రకం ఏడు-దీర్ఘచతురస్రాల కోత ఎప్పటికీ 280 కిందికి వెళ్లలేదని రచయితలు నిరూపిస్తారు కూడా: సున్నా లోపం పూర్తిగా వేరే ఆలోచన నుంచే రావాలి. ఈ ఏడు దీర్ఘచతురస్రాలు సాధించగల ఉత్తమం 280 అని వారు ఊహిస్తారు, దీర్ఘచతురస్రాకార కాన్వాసులు ఇంకా మెరుగ్గా చేయగలవని సూచిస్తారు, “వరుసగా వేగంగా వచ్చే మెరుగుదలల వెల్లువ”ను ఆశిస్తారు. పరిపూర్ణ మోండ్రియన్ చతురస్రం ఉందా లేదా అనేది ఇంకా తేలని ప్రశ్నే — కానీ అంతరం పెరగాల్సిందే కాబట్టి అది ఉండలేదు అనే వాదన ఇక లేదు.