MONDRIANS RÄTSEL: EINE LÜCKE, DIE NICHT MEHR WÄCHST

Der niederländische Maler Piet Mondrian ist vor allem für seine De-Stijl-Werke bekannt, die überwiegend aus farbigen Rechtecken bestehen. Mathematiker haben sie sich für ein trügerisch einfaches Rätsel ausgeliehen. Man nehme eine quadratische Leinwand der Seitenlänge n. Man zerlege sie in Rechtecke mit ganzzahligen Seiten, alle parallel zu den Rändern. Eine Regel: Keine zwei Rechtecke dürfen dieselbe Form haben, auch nicht, wenn man eines um eine Vierteldrehung dreht – ein 2 × 3 und ein 3 × 2 dürfen nicht auf derselben Leinwand liegen.

Nun vergleiche man ihre Flächen. Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten ist der Defekt. Die Frage lautet, wie klein er sein kann.

Die perfekte Zerlegung, die niemand gefunden hat

Eine Zerlegung mit Defekt null wäre perfekt: Rechtecke, die alle verschieden geformt sind und doch alle exakt dieselbe Fläche haben. Gleiche Flächen allein genügen nicht; die Teile müssen auch lückenlos und ohne Überlappung zusammenpassen. Niemand weiß, ob es für irgendein Quadrat eine perfekte Zerlegung gibt. Für alle Seitenlängen bis 1000 ist sie ausgeschlossen, und allgemein glaubt man, dass es keine gibt.

Hinter dieser Annahme stand eine umfassendere: dass der kleinstmögliche Defekt, geschrieben M(n), mit der Größe des Quadrats wächst. Die bekannten Beispiele bis n = 900 schienen das zu bestätigen. In einem Preprint vom September 2026 meldete ein anderes Team die erste nichttriviale obere Schranke, M(n) ≤ 10 n^(5/6) – eine Lücke, die immer noch unbegrenzt wachsen kann.

Sieben Rechtecke und √19

Cooper O’Kuhn und Freeman Slaughter von der University of South Florida gingen von einer bekannten Kuriosität aus: einer Möglichkeit, ein Quadrat in sieben verschiedene Rechtecke mit exakt gleicher Fläche zu zerlegen. Der Haken: Die Seiten sind keine ganzen Zahlen, in ihnen steckt √19, eine irrationale Zahl.

Ihre Idee ist, √19 durch Brüche p/q zu ersetzen, die es immer besser annähern. Das passende Werkzeug ist eine gut untersuchte Gleichung der Zahlentheorie, die Pell-Gleichung: Hier muss p² − 19q² konstant bleiben. Mit dieser Wahl werden die Seiten ganzzahlig, und die Streuung der Flächen hängt nur von diesem festen Wert ab – nicht davon, wie groß die Zahlen werden. Sie zeigen, dass der Defekt genau 140 × |p² − 19q²| beträgt.

Das Quadrat mit Seitenlänge 315

Der kleinste Fall verwendet p = 13 und q = 3, für die 13² − 19 × 3² = −2 gilt. Er ergibt ein Quadrat der Seitenlänge 315, zerlegt in:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 und 112 × 125.

Die größte Fläche ist 238 × 60 = 14.280, die kleinste 70 × 200 = 14.000. Der Defekt beträgt 280. Die sieben Flächen ergeben zusammen 99.225, was tatsächlich 315 × 315 ist.

Für immer 280

Dann wiederholt sich die Konstruktion. Die Seitenlängen folgen einer einfachen Regel: 315, dann 106.785, dann ist jede neue Seite das 340-Fache der vorigen minus der davor – 36.306.585, dann 12.344.132.115 und so weiter ohne Ende. Jedes dieser Quadrate lässt sich in sieben verschiedene Rechtecke mit einem Defekt von genau 280 zerlegen.

Der minimale Defekt wächst also nicht immer weiter. In den Worten der Autoren kann es nicht einmal eine gegen unendlich strebende Funktion geben – linear, logarithmisch oder sonst wie –, die für jedes hinreichend große Quadrat unter M(n) bleibt. Das widerlegt eine Vermutung, die nach ihrer Darstellung offen war, seit das Problem erstmals gestellt wurde. Eine Variante derselben Methode liefert für jede ganze Zahl k unendlich viele Quadrate, deren Seitenlänge durch k teilbar ist, mit einem Defekt von höchstens 560.

Noch immer kein perfektes Quadrat

Das Ergebnis sagt nichts über Quadrate außerhalb dieser Familie und schließt eine perfekte Zerlegung nicht aus. Die Autoren beweisen sogar, dass diese Art der Zerlegung in sieben Rechtecke nie unter 280 fallen kann: Ein Defekt von null müsste aus einer völlig anderen Idee hervorgehen. Sie vermuten, dass 280 das Beste ist, was diese sieben Rechtecke leisten können, schlagen vor, dass rechteckige Leinwände noch besser abschneiden könnten, und erwarten „eine rasche Folge schrittweiser Verbesserungen“. Ob ein perfektes Mondrian-Quadrat existiert, bleibt offen – doch das Argument, es könne keines geben, weil die Lücke wachsen müsse, ist hinfällig.