மாண்ட்ரியன் புதிர்: வளர்வதை நிறுத்தும் ஓர் இடைவெளி

டச்சு ஓவியர் Piet Mondrian, பெரும்பாலும் வண்ணச் செவ்வகங்களால் ஆன தன் De Stijl படைப்புகளுக்காகவே மிகவும் அறியப்படுகிறார். கணிதவியலாளர்கள், பார்வைக்கு எளிதாகத் தோன்றும் ஒரு புதிருக்காக அவற்றைக் கடன் வாங்கியுள்ளனர். பக்கம் n கொண்ட ஒரு சதுர ஓவியத் திரையை எடுங்கள். அதை, முழு எண் பக்கங்கள் கொண்ட, அனைத்தும் விளிம்புகளுக்கு இணையான செவ்வகங்களாக வெட்டுங்கள். ஒரே விதி: எந்த இரண்டு செவ்வகங்களும் ஒரே வடிவில் இருக்கக் கூடாது, ஒன்றைக் கால் சுற்று திருப்பிய பின்னும் — 2 × 3-உம் 3 × 2-உம் ஒரே திரையில் இருக்க முடியாது.

இப்போது அவற்றின் பரப்புகளை ஒப்பிடுங்கள். மிகப்பெரியதுக்கும் மிகச்சிறியதுக்கும் உள்ள வேறுபாடே குறைபாடு (defect). அது எவ்வளவு சிறியதாக இருக்க முடியும் என்பதே கேள்வி.

யாரும் கண்டிராத முழுமையான வெட்டு

பூஜ்ஜியக் குறைபாடு கொண்ட ஒரு வெட்டு முழுமையானதாக இருக்கும்: வடிவில் அனைத்தும் வெவ்வேறான, ஆனால் அனைத்தும் சரியாக ஒரே பரப்புள்ள செவ்வகங்கள். சம பரப்புகள் மட்டும் போதாது; துண்டுகள் இடைவெளியோ ஒன்றின் மேல் ஒன்றோ இல்லாமல் பொருந்தவும் வேண்டும். எந்தச் சதுரத்துக்காவது முழுமையான வெட்டு உள்ளதா என்று யாருக்கும் தெரியாது. 1,000 வரையிலான ஒவ்வொரு பக்கத்துக்கும் அது விலக்கப்பட்டுள்ளது; எதுவும் இல்லை என்பதே பொதுவான நம்பிக்கை.

அந்த நம்பிக்கைக்குப் பின்னால் ஒரு பரந்த நம்பிக்கை இருந்தது: M(n) என்று எழுதப்படும், சாத்தியமான மிகச்சிறிய குறைபாடு சதுரத்தின் அளவுடன் வளர்கிறது என்பது. n = 900 வரை அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் அதையே சொல்வதாகத் தோன்றின. செப்டம்பர் 2026 முன்பதிப்பு ஒன்றில், மற்றொரு குழு முதல் அற்பமற்ற மேல் வரம்பான M(n) ≤ 10 n^(5/6)-ஐத் தெரிவித்தது — இன்னும் முடிவில்லாமல் வளரக்கூடிய ஓர் இடைவெளி.

ஏழு செவ்வகங்களும் √19-உம்

University of South Florida-வைச் சேர்ந்த Cooper O’Kuhn, Freeman Slaughter ஆகியோர் அறியப்பட்ட ஒரு விந்தையிலிருந்து தொடங்கினர்: ஒரு சதுரத்தை சரியாகச் சம பரப்புள்ள ஏழு வெவ்வேறு செவ்வகங்களாக வெட்டும் ஒரு வழி. அதன் சிக்கல், பக்கங்கள் முழு எண்கள் அல்ல; அவற்றில் விகிதமுறா எண்ணான √19 வருகிறது.

√19-க்குப் பதிலாக, அதை மேலும் மேலும் நன்றாக நெருங்கும் p/q பின்னங்களை வைப்பதே அவர்களின் யோசனை. சரியான கருவி, எண் கோட்பாட்டில் நன்கு ஆராயப்பட்ட ஒரு சமன்பாடு, Pell சமன்பாடு (Pell’s equation): இங்கே p² − 19q² நிலையாக இருக்க வேண்டும். இந்தத் தேர்வுடன், பக்கங்கள் முழு எண்களாகின்றன; பரப்புகளின் பரவல் அந்த நிலையான மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கிறது — எண்கள் எவ்வளவு பெரிதாகின்றன என்பதை அல்ல. குறைபாடு சரியாக 140 × |p² − 19q²| என்று அவர்கள் காட்டுகிறார்கள்.

315 சதுரம்

மிகச்சிறிய நிலை p = 13, q = 3-ஐப் பயன்படுத்துகிறது; இதற்கு 13² − 19 × 3² = −2. இது, பின்வருவனவாக வெட்டப்பட்ட, பக்கம் 315 கொண்ட சதுரத்தைத் தருகிறது:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200, 112 × 125.

மிகப்பெரிய பரப்பு 238 × 60 = 14,280; மிகச்சிறியது 70 × 200 = 14,000. குறைபாடு 280. ஏழு பரப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 99,225; அது உண்மையில் 315 × 315.

என்றென்றும் 280

பிறகு கட்டமைப்பு மீண்டும் நிகழ்கிறது. பக்க நீளங்கள் ஓர் எளிய விதியைப் பின்பற்றுகின்றன: 315, பிறகு 106,785, பிறகு ஒவ்வொரு புதிய பக்கமும் முந்தையதன் 340 மடங்கு கழித்தல் அதற்கு முந்தையது — 36,306,585, பிறகு 12,344,132,115, இப்படி முடிவில்லாமல். இந்தச் சதுரங்கள் ஒவ்வொன்றையும் சரியாக 280 குறைபாட்டுடன் ஏழு வெவ்வேறு செவ்வகங்களாக வெட்ட முடியும்.

ஆக, மிகக்குறைந்த குறைபாடு வளர்ந்துகொண்டே இருப்பதில்லை. ஆசிரியர்களின் சொற்களில், போதுமான அளவு பெரிய ஒவ்வொரு சதுரத்துக்கும் M(n)-க்குக் கீழே இருக்கும், முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் ஒரு சார்பு — நேரியல், மடக்கை அல்லது வேறு எதுவும் — கூட இருக்க முடியாது. சிக்கல் முதன்முதலில் முன்வைக்கப்பட்டதிலிருந்து திறந்தே இருந்ததாக அவர்கள் விவரிக்கும் ஓர் அனுமானத்தை (conjecture) இது கவிழ்க்கிறது. அதே முறையின் ஒரு மாறுபாடு, ஒவ்வொரு முழு எண் k-க்கும், பக்கம் k-ஆல் வகுபடும், அதிகபட்சம் 560 குறைபாடு கொண்ட முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சதுரங்களைத் தருகிறது.

இன்னும் முழுமையான சதுரம் இல்லை

இந்தக் குடும்பத்துக்கு வெளியே உள்ள சதுரங்கள் பற்றி இந்த முடிவு எதுவும் சொல்லவில்லை; முழுமையான வெட்டை விலக்கவும் இல்லை. இந்த வகை ஏழு-செவ்வக வெட்டு ஒருபோதும் 280-க்குக் கீழே செல்ல முடியாது என்றுகூட ஆசிரியர்கள் நிரூபிக்கிறார்கள்: பூஜ்ஜியக் குறைபாடு முற்றிலும் வேறான ஒரு யோசனையிலிருந்தே வர வேண்டும். இந்த ஏழு செவ்வகங்களால் செய்யக்கூடிய சிறந்தது 280 என்று அவர்கள் அனுமானிக்கிறார்கள்; செவ்வக ஓவியத் திரைகள் இன்னும் சிறப்பாகச் செய்யலாம் என்று முன்மொழிகிறார்கள்; “முன்னேற்றங்களின் விரைவான அலை” ஒன்றை எதிர்பார்க்கிறார்கள். முழுமையான Mondrian சதுரம் உள்ளதா என்பது இன்னும் திறந்த கேள்வியே — ஆனால் இடைவெளி வளர்ந்தே தீர வேண்டும் என்பதால் அது இருக்க முடியாது என்ற வாதம் இப்போது இல்லை.