মন্দ্রিয়ানের ধাঁধা: যে ফারাক আর বাড়ে না

ডাচ চিত্রশিল্পী পিট মন্দ্রিয়ান সবচেয়ে বেশি পরিচিত তাঁর দে স্তাইল (De Stijl) শিল্পকর্মের জন্য, যেগুলো মূলত রঙিন আয়তক্ষেত্রে গড়া। গণিতবিদরা এগুলো ধার করেছেন একটি আপাত-সরল ধাঁধার জন্য। n বাহুর একটি বর্গাকার ক্যানভাস নিন। একে পূর্ণসংখ্যার বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রে কাটুন, সবগুলো কিনারার সঙ্গে সমান্তরাল। একটিই নিয়ম: কোনো দুটি আয়তক্ষেত্রের আকৃতি এক হতে পারবে না, একটিকে এক-চতুর্থাংশ ঘোরানোর পরেও নয় — 2 × 3 আর 3 × 2 একই ক্যানভাসে থাকতে পারবে না।

এবার তাদের ক্ষেত্রফল তুলনা করুন। সবচেয়ে বড় আর সবচেয়ে ছোটটির পার্থক্যই ত্রুটি। প্রশ্ন হলো, এটি কতটা ছোট হতে পারে।

যে নিখুঁত কাটা কেউ খুঁজে পায়নি

শূন্য ত্রুটির কাটা হবে নিখুঁত: আয়তক্ষেত্রগুলো আকৃতিতে সব আলাদা, অথচ সবার ক্ষেত্রফল হুবহু সমান। শুধু ক্ষেত্রফল সমান হলেই হবে না; টুকরোগুলোকে কোনো ফাঁক বা উপরিপাতন ছাড়া একসঙ্গে খাপ খেতেও হবে। কোনো বর্গের জন্য নিখুঁত কাটা আছে কি না, কেউ জানে না। 1,000 পর্যন্ত প্রতিটি বাহুর জন্য এটি বাতিল হয়েছে, এবং সাধারণ বিশ্বাস হলো এমন কোনোটি নেই।

সেই বিশ্বাসের পেছনে ছিল আরও বিস্তৃত একটি বিশ্বাস: সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম ত্রুটি, যাকে লেখা হয় M(n), বর্গের আকারের সঙ্গে বাড়ে। n = 900 পর্যন্ত জানা উদাহরণগুলো তা-ই বলছিল বলে মনে হতো। সেপ্টেম্বর 2026-এর একটি প্রিপ্রিন্টে আরেকটি দল প্রথম অ-তুচ্ছ ঊর্ধ্বসীমা জানিয়েছিল, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — এমন একটি ফারাক যা তবুও সীমাহীনভাবে বাড়তে পারে।

সাতটি আয়তক্ষেত্র আর √19

ইউনিভার্সিটি অব সাউথ ফ্লোরিডার Cooper O’Kuhn ও Freeman Slaughter শুরু করেছেন একটি পরিচিত কৌতূহল থেকে: একটি বর্গকে হুবহু সমান ক্ষেত্রফলের সাতটি আলাদা আয়তক্ষেত্রে কাটার একটি উপায়। সমস্যা হলো, বাহুগুলো পূর্ণসংখ্যা নয়; তাতে আছে √19, একটি অমূলদ সংখ্যা।

তাঁদের ভাবনা হলো √19-এর জায়গায় এমন ভগ্নাংশ p/q বসানো যা তার ক্রমশ আরও ভালো আসন্ন মান দেয়। সঠিক হাতিয়ার হলো সংখ্যাতত্ত্বের একটি বহুল-অধীত সমীকরণ, পেলের সমীকরণ: এখানে p² − 19q²-কে স্থির থাকতে হবে। এই পছন্দে বাহুগুলো পূর্ণসংখ্যা হয়ে যায়, আর ক্ষেত্রফলগুলোর বিস্তার নির্ভর করে কেবল সেই স্থির মানের ওপর — সংখ্যাগুলো কত বড় হলো তার ওপর নয়। তাঁরা দেখিয়েছেন, ত্রুটি হুবহু 140 × |p² − 19q²|।

315-এর বর্গ

সবচেয়ে ছোট ক্ষেত্রে p = 13 ও q = 3, যার জন্য 13² − 19 × 3² = −2। এটি দেয় 315 বাহুর একটি বর্গ, যা কাটা হয়েছে এভাবে:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 এবং 112 × 125।

সবচেয়ে বড় ক্ষেত্রফল 238 × 60 = 14,280; সবচেয়ে ছোট, 70 × 200 = 14,000। ত্রুটি 280। সাতটি ক্ষেত্রফলের যোগফল 99,225, যা সত্যিই 315 × 315।

চিরকাল 280

তারপর গঠনটির পুনরাবৃত্তি ঘটে। বাহুর দৈর্ঘ্য একটি সরল নিয়ম মেনে চলে: 315, তারপর 106,785, তারপর প্রতিটি নতুন বাহু আগেরটির 340 গুণ বিয়োগ তারও আগেরটি — 36,306,585, তারপর 12,344,132,115, এভাবে অনন্তকাল। এই বর্গগুলোর প্রতিটিকে হুবহু 280 ত্রুটিসহ সাতটি আলাদা আয়তক্ষেত্রে কাটা যায়।

সুতরাং ন্যূনতম ত্রুটি বাড়তে থাকে না। লেখকদের ভাষায়, এমনকি এমন কোনো অপেক্ষকও থাকতে পারে না যা অসীমের দিকে যায় — রৈখিক, লগারিদমীয় বা অন্য কিছু — এবং যথেষ্ট বড় প্রতিটি বর্গের জন্য M(n)-এর নিচে থাকে। এটি এমন একটি অনুমানকে (conjecture) উল্টে দেয়, যাকে তাঁরা সমস্যাটি প্রথম প্রস্তাবিত হওয়ার সময় থেকে অমীমাংসিত বলে বর্ণনা করেছেন। একই পদ্ধতির একটি রূপভেদ, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য, অসীম সংখ্যক এমন বর্গ দেয় যাদের বাহু k দিয়ে বিভাজ্য, এবং ত্রুটি বড়জোর 560।

এখনও কোনো নিখুঁত বর্গ নেই

এই ফলাফল এই পরিবারের বাইরের বর্গ সম্পর্কে কিছু বলে না, আর নিখুঁত কাটাকেও বাতিল করে না। লেখকরা এমনকি প্রমাণ করেছেন, এই ধরনের সাত-আয়তক্ষেত্রের কাটা কখনো 280-এর নিচে নামতে পারে না: শূন্য ত্রুটি আসতে হবে সম্পূর্ণ ভিন্ন কোনো ভাবনা থেকে। তাঁদের অনুমান, এই সাতটি আয়তক্ষেত্র 280-এর চেয়ে ভালো করতে পারে না; তাঁরা প্রস্তাব করেছেন যে আয়তাকার ক্যানভাস হয়তো আরও ভালো করতে পারে, এবং আশা করছেন “ধারাবাহিক উন্নতির একটি দ্রুত ঝড়”। নিখুঁত মন্দ্রিয়ান বর্গ আছে কি না, সে প্রশ্ন খোলাই থাকল — কিন্তু ফারাক বাড়তেই হবে বলে তা থাকতে পারে না, এই যুক্তিটি আর টিকে নেই।