O QUEBRA-CABEÇA DE MONDRIAN: UMA DIFERENÇA QUE PARA DE CRESCER

O pintor holandês Piet Mondrian é mais conhecido por suas obras De Stijl, feitas principalmente de retângulos coloridos. Os matemáticos as tomaram emprestadas para um quebra-cabeça aparentemente simples. Pegue uma tela quadrada de lado n. Corte-a em retângulos de lados inteiros, todos alinhados com as bordas. Uma regra: dois retângulos não podem ter a mesma forma, mesmo depois de girar um deles um quarto de volta — um 2 × 3 e um 3 × 2 não podem dividir a mesma tela.

Agora compare suas áreas. A diferença entre a maior e a menor é o defeito. A questão é quão pequeno ele pode ser.

O corte perfeito que ninguém encontrou

Um corte com defeito zero seria perfeito: retângulos todos de formas diferentes, mas todos exatamente com a mesma área. Áreas iguais não bastam por si sós; as peças também precisam se encaixar sem lacuna nem sobreposição. Ninguém sabe se existe um corte perfeito para algum quadrado. Ele foi descartado para todos os lados até 1.000, e a crença geral é que não existe nenhum.

Por trás dessa crença havia outra, mais ampla: a de que o menor defeito possível, escrito M(n), cresce com o tamanho do quadrado. Os exemplos conhecidos, até n = 900, pareciam confirmar isso. Num preprint de setembro de 2026, outra equipe apresentou o primeiro limite superior não trivial, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — uma diferença que ainda pode crescer sem fim.

Sete retângulos e √19

Cooper O’Kuhn e Freeman Slaughter, da University of South Florida, partiram de uma curiosidade conhecida: uma forma de cortar um quadrado em sete retângulos diferentes de área exatamente igual. O problema é que os lados não são números inteiros; envolvem √19, um número irracional.

A ideia deles é substituir √19 por frações p/q que o aproximam cada vez melhor. A ferramenta certa é uma equação bem estudada da teoria dos números, a equação de Pell: aqui, p² − 19q² deve permanecer fixo. Com essa escolha, os lados se tornam números inteiros, e a dispersão das áreas depende apenas desse valor fixo — não do tamanho que os números atingem. Eles mostram que o defeito é exatamente 140 × |p² − 19q²|.

O quadrado de 315

O menor caso usa p = 13 e q = 3, para os quais 13² − 19 × 3² = −2. Ele dá um quadrado de lado 315 cortado em:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 e 112 × 125.

A maior área é 238 × 60 = 14.280; a menor, 70 × 200 = 14.000. O defeito é 280. As sete áreas somam 99.225, que é de fato 315 × 315.

Para sempre 280

Depois a construção se repete. Os comprimentos dos lados seguem uma regra simples: 315, depois 106.785, depois cada novo lado é 340 vezes o anterior menos o que veio antes dele — 36.306.585, depois 12.344.132.115, e assim por diante, sem fim. Cada um desses quadrados pode ser cortado em sete retângulos diferentes com um defeito de exatamente 280.

Portanto, o defeito mínimo não continua crescendo. Nas palavras dos autores, não pode existir nem mesmo uma função que tenda ao infinito — linear, logarítmica ou qualquer outra — que fique abaixo de M(n) para todo quadrado grande o suficiente. Isso derruba uma conjectura que eles descrevem como em aberto desde que o problema foi proposto pela primeira vez. Uma variante do mesmo método fornece, para qualquer número inteiro k, infinitos quadrados cujo lado é divisível por k, com um defeito de no máximo 560.

Ainda nenhum quadrado perfeito

O resultado não diz nada sobre os quadrados fora dessa família e não descarta um corte perfeito. Os autores chegam a provar que esse tipo de corte em sete retângulos nunca pode ficar abaixo de 280: um defeito zero teria de vir de uma ideia completamente diferente. Eles conjecturam que 280 é o melhor que esses sete retângulos conseguem, sugerem que telas retangulares poderiam fazer ainda melhor e esperam “uma rápida sucessão de melhorias progressivas”. Se existe um quadrado de Mondrian perfeito continua em aberto — mas o argumento de que ele não pode existir, porque a diferença tem de crescer, caiu.