LE PROBLÈME DE MONDRIAN : UN ÉCART QUI NE GRANDIT PLUS

Le peintre néerlandais Piet Mondrian est surtout connu pour ses œuvres De Stijl, composées principalement de rectangles colorés. Les mathématiciens les ont empruntées pour un casse-tête faussement simple. Prenez une toile carrée de côté n. Découpez-la en rectangles à côtés entiers, alignés sur les bords. Une règle : deux rectangles ne peuvent pas avoir la même forme, même après un quart de tour — un 2 × 3 et un 3 × 2 ne peuvent pas partager la toile.

Comparez maintenant leurs aires. La différence entre la plus grande et la plus petite est le défaut. La question : jusqu’où peut-il descendre ?

Le découpage parfait que personne n’a trouvé

Un découpage de défaut nul serait parfait : des rectangles de formes toutes différentes, mais exactement de la même aire. Des aires égales ne suffisent pas : les pièces doivent aussi s’emboîter sans trou ni chevauchement. Personne ne sait si un découpage parfait existe pour un carré quelconque. Il a été exclu pour tous les côtés jusqu’à 1 000, et l’on pense en général qu’il n’en existe aucun.

Derrière cette conviction s’en cachait une autre, plus large : le plus petit défaut possible, noté M(n), grandirait avec la taille du carré. Les exemples connus, jusqu’à n = 900, semblaient l’indiquer. Dans un préprint de septembre 2026, une autre équipe a proposé la première limite supérieure non triviale, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — un écart qui peut encore grandir sans fin.

Sept rectangles et √19

Cooper O’Kuhn et Freeman Slaughter, de l’université de Floride du Sud, sont partis d’une curiosité connue : une façon de découper un carré en sept rectangles différents d’aires exactement égales. Le hic : leurs côtés ne sont pas entiers ; ils font intervenir √19, un nombre irrationnel.

Leur idée : remplacer √19 par des fractions p/q qui l’approchent de mieux en mieux. Le bon outil est une équation très étudiée de la théorie des nombres, l’équation de Pell : ici, p² − 19q² doit rester fixe. Avec ce choix, les côtés deviennent entiers, et l’écart des aires ne dépend que de cette valeur fixe — pas de la taille des nombres. Ils montrent que le défaut vaut exactement 140 × |p² − 19q²|.

Le carré de 315

Le plus petit cas utilise p = 13 et q = 3, pour lesquels 13² − 19 × 3² = −2. Il donne un carré de côté 315 découpé en :

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 et 112 × 125.

La plus grande aire vaut 238 × 60 = 14 280 ; la plus petite, 70 × 200 = 14 000. Le défaut est de 280. Les sept aires totalisent 99 225, soit bien 315 × 315.

280 pour toujours

Ensuite, la construction se répète. Les côtés suivent une règle simple : 315, puis 106 785, puis chaque nouveau côté vaut 340 fois le précédent moins celui d’avant — 36 306 585, puis 12 344 132 115, et ainsi de suite sans fin. Chacun de ces carrés peut être découpé en sept rectangles différents avec un défaut d’exactement 280.

Le défaut minimal ne grandit donc pas indéfiniment. Selon les auteurs, il ne peut même pas exister de fonction qui tende vers l’infini — linéaire, logarithmique ou autre — et reste sous M(n) pour tous les carrés assez grands. Cela renverse une conjecture qu’ils décrivent comme ouverte depuis la proposition du problème. Une variante de la même méthode donne, pour tout nombre entier k, une infinité de carrés dont le côté est divisible par k, avec un défaut d’au plus 560.

Toujours pas de carré parfait

Le résultat ne dit rien des carrés hors de cette famille, et n’exclut pas un découpage parfait. Les auteurs prouvent même que ce type de découpage en sept rectangles ne peut jamais descendre sous 280 : un défaut nul devrait venir d’une tout autre idée. Ils conjecturent que 280 est le mieux que ces sept rectangles puissent faire, suggèrent que des toiles rectangulaires pourraient faire mieux encore, et s’attendent à « une rapide série d’améliorations ». L’existence d’un carré de Mondrian parfait reste ouverte — mais l’argument selon lequel il ne pourrait pas exister, parce que l’écart devrait grandir, est tombé.