مونڈریان کی پہیلی: ایک فرق جو بڑھنا رک جاتا ہے

ڈچ مصور پیٹ مونڈریان اپنی De Stijl تخلیقات کے لیے سب سے زیادہ مشہور ہیں، جو زیادہ تر رنگین مستطیلوں سے بنی ہیں۔ ریاضی دانوں نے انہیں ایک بظاہر سادہ پہیلی کے لیے مستعار لیا ہے۔ n ضلع والا ایک مربع کینوس لیں۔ اسے صحیح عدد اضلاع والے مستطیلوں میں کاٹیں، جو سب کناروں کے متوازی ہوں۔ ایک اصول: کوئی دو مستطیل ایک ہی شکل کے نہیں ہو سکتے، چاہے ایک کو چوتھائی چکر گھما دیا جائے — 2 × 3 اور 3 × 2 ایک ہی کینوس پر نہیں آ سکتے۔

اب ان کے رقبوں کا موازنہ کریں۔ سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے کا فرق نقص (defect) ہے۔ سوال یہ ہے کہ یہ کتنا چھوٹا ہو سکتا ہے۔

کامل تقسیم جو کسی کو نہیں ملی

صفر نقص والی تقسیم کامل ہوگی: مستطیل سب شکل میں مختلف، مگر سب کا رقبہ بالکل برابر۔ صرف برابر رقبے کافی نہیں؛ ٹکڑوں کو بغیر خلا یا ایک دوسرے پر چڑھے آپس میں فٹ بھی ہونا چاہیے۔ کوئی نہیں جانتا کہ کسی بھی مربع کے لیے کامل تقسیم موجود ہے یا نہیں۔ 1,000 تک کے ہر ضلع کے لیے اسے خارج کیا جا چکا ہے، اور عمومی خیال یہ ہے کہ ایسی کوئی تقسیم نہیں۔

اس خیال کے پیچھے ایک وسیع تر خیال تھا: کہ ممکنہ سب سے چھوٹا نقص، جسے M(n) لکھا جاتا ہے، مربع کے سائز کے ساتھ بڑھتا ہے۔ n = 900 تک کی معلوم مثالیں بظاہر یہی کہتی تھیں۔ ستمبر 2026 کے ایک پری پرنٹ میں ایک اور ٹیم نے پہلی غیر معمولی (non-trivial) بالائی حد پیش کی، M(n) ≤ 10 n^(5/6) — ایک ایسا فرق جو اب بھی لامحدود طور پر بڑھ سکتا ہے۔

سات مستطیل اور √19

یونیورسٹی آف ساؤتھ فلوریڈا کے کوپر او کُہن اور فریمین سلاٹر نے ایک معروف عجوبے سے آغاز کیا: ایک مربع کو بالکل برابر رقبے والے سات مختلف مستطیلوں میں کاٹنے کا طریقہ۔ مسئلہ یہ ہے کہ اس کے اضلاع صحیح اعداد نہیں؛ ان میں √19 آتا ہے، جو ایک غیر ناطق عدد ہے۔

ان کا خیال یہ ہے کہ √19 کی جگہ ایسے کسور p/q رکھے جائیں جو اس کے بہتر سے بہتر قریب ہوں۔ اس کے لیے صحیح آلہ نظریۂ اعداد کی ایک اچھی طرح مطالعہ شدہ مساوات ہے، پیل کی مساوات: یہاں p² − 19q² کو مستقل رہنا چاہیے۔ اس انتخاب سے اضلاع صحیح اعداد بن جاتے ہیں، اور رقبوں کا پھیلاؤ صرف اسی مستقل قدر پر منحصر ہوتا ہے — اس پر نہیں کہ اعداد کتنے بڑے ہو جاتے ہیں۔ وہ دکھاتے ہیں کہ نقص بالکل 140 × |p² − 19q²| کے برابر ہے۔

315 کا مربع

سب سے چھوٹی صورت میں p = 13 اور q = 3 لیے جاتے ہیں، جن کے لیے 13² − 19 × 3² = −2۔ اس سے 315 ضلع والا ایک مربع حاصل ہوتا ہے جو ان میں کٹتا ہے:

259 × 55، 56 × 255، 238 × 60، 77 × 185، 189 × 75، 70 × 200 اور 112 × 125۔

سب سے بڑا رقبہ 238 × 60 = 14,280 ہے؛ سب سے چھوٹا، 70 × 200 = 14,000۔ نقص 280 ہے۔ ساتوں رقبوں کا مجموعہ 99,225 ہے، جو واقعی 315 × 315 ہے۔

ہمیشہ 280

پھر یہ تعمیر دہرائی جاتی ہے۔ اضلاع کی لمبائیاں ایک سادہ اصول پر چلتی ہیں: 315، پھر 106,785، پھر ہر نیا ضلع پچھلے کا 340 گنا منفی اس سے پہلے والا — 36,306,585، پھر 12,344,132,115، اور یوں ہی بلا انتہا۔ ان میں سے ہر مربع کو سات مختلف مستطیلوں میں ٹھیک 280 کے نقص کے ساتھ کاٹا جا سکتا ہے۔

لہٰذا کم سے کم نقص بڑھتا نہیں رہتا۔ مصنفین کے الفاظ میں، ایسا کوئی تفاعل (function) بھی نہیں ہو سکتا جو لامتناہی کی طرف جائے — خطی، لوگارتھمی یا کچھ اور — اور ہر کافی بڑے مربع کے لیے M(n) سے نیچے رہے۔ یہ ایک ایسے قیاس (conjecture) کو رد کرتا ہے جسے وہ اس مسئلے کے پہلی بار پیش کیے جانے سے حل طلب بتاتے ہیں۔ اسی طریقے کی ایک شکل ہر صحیح عدد k کے لیے لامحدود تعداد میں ایسے مربع دیتی ہے جن کا ضلع k سے قابلِ تقسیم ہو، اور نقص زیادہ سے زیادہ 560 ہو۔

اب بھی کوئی کامل مربع نہیں

یہ نتیجہ اس خاندان سے باہر کے مربعوں کے بارے میں کچھ نہیں کہتا، اور کامل تقسیم کو خارج نہیں کرتا۔ مصنفین یہ بھی ثابت کرتے ہیں کہ اس قسم کی سات مستطیلوں والی تقسیم کبھی 280 سے نیچے نہیں جا سکتی: صفر نقص کے لیے بالکل مختلف خیال درکار ہوگا۔ ان کا قیاس ہے کہ یہ سات مستطیل 280 سے بہتر نہیں کر سکتے، وہ تجویز کرتے ہیں کہ مستطیل کینوس اس سے بھی بہتر کر سکتے ہیں، اور “بتدریج بہتریوں کی ایک تیز لہر” کی توقع رکھتے ہیں۔ آیا کوئی کامل مونڈریان مربع موجود ہے، یہ سوال اب بھی کھلا ہے — لیکن یہ دلیل کہ وہ موجود نہیں ہو سکتا کیونکہ فرق کو بڑھنا ہی ہے، ختم ہو گئی۔