蒙德里安难题：一个不再增长的差距

荷兰画家皮特·蒙德里安最著名的是他的风格派（De Stijl）作品，画面主要由彩色矩形构成。数学家借用它们提出了一个看似简单的谜题。取一块边长为n的正方形画布，把它切成边长为整数、各边与画布边缘对齐的矩形。规则只有一条：任何两个矩形的形状都不能相同，即使把其中一个旋转90度也不行——2 × 3和3 × 2不能同时出现在画布上。

现在比较它们的面积。最大面积与最小面积之差就是缺陷。问题是：它最小能有多小？

无人找到的完美切分

缺陷为零的切分是完美的：矩形形状各不相同，面积却完全相等。仅仅面积相等还不够；这些小块还必须严丝合缝地拼在一起，既无空隙也无重叠。没有人知道是否存在某个正方形能实现完美切分。对于边长不超过1000的所有正方形，这已被排除，而普遍的看法是根本不存在。

这一看法背后还有一个更广泛的信念：最小可能的缺陷（记作M(n)）会随着正方形的尺寸增长。已知的例子（直到n = 900）似乎也证实了这一点。在2026年9月的一篇预印本中，另一个团队给出了第一个非平凡的上界，M(n) ≤ 10 n^(5/6)——这个差距仍然可以无限增长。

七个矩形与√19

南佛罗里达大学的Cooper O’Kuhn和Freeman Slaughter从一个已知的奇特构造出发：一种把正方形切成七个面积完全相等、形状各不相同的矩形的方法。问题在于，其边长不是整数；它们涉及无理数√19。

他们的想法是用越来越精确地逼近√19的分数p/q来代替它。合适的工具是数论中一个被深入研究过的方程——佩尔方程：在这里，p² − 19q²必须保持不变。这样选择后，边长都变成了整数，而面积的离散程度只取决于这个固定值——与数字变得多大无关。他们证明，缺陷恰好等于140 × |p² − 19q²|。

边长315的正方形

最小的情形取p = 13、q = 3，此时13² − 19 × 3² = −2。它给出一个边长为315的正方形，被切成：

259 × 55、56 × 255、238 × 60、77 × 185、189 × 75、70 × 200和112 × 125。

最大面积为238 × 60 = 14280；最小面积为70 × 200 = 14000。缺陷为280。七个面积之和为99225，正好等于315 × 315。

永远是280

然后，这个构造可以不断重复。边长遵循一个简单规则：315，然后106785，之后每个新边长等于前一个的340倍减去再前一个——36306585，然后12344132115，如此无穷无尽。这些正方形中的每一个都可以被切成七个形状各不相同的矩形，缺陷恰好为280。

因此，最小缺陷并不会持续增长。用作者的话说，甚至不可能存在一个趋于无穷的函数——无论是线性的、对数的还是其他任何形式——对每个足够大的正方形都保持在M(n)之下。这推翻了一个他们称自该问题首次提出以来就悬而未决的猜想。同一方法的一个变体还表明，对于任意整数k，存在无穷多个边长能被k整除的正方形，其缺陷至多为560。

仍然没有完美正方形

这一结果对这个家族之外的正方形什么也没说，也没有排除完美切分。作者甚至证明，这种七矩形切分的缺陷永远不可能低于280：缺陷为零必须来自一个完全不同的思路。他们猜想280是这七个矩形所能做到的最好结果，提出矩形画布或许能做得更好，并预计会出现“一阵接连不断的改进”。完美的蒙德里安正方形是否存在，仍是一个未解之谜——但“因为差距必然增长，所以它不可能存在”这一论据，已经不复存在了。