CÂU ĐỐ MONDRIAN: MỘT KHOẢNG CÁCH THÔI KHÔNG LỚN THÊM

Họa sĩ Hà Lan Piet Mondrian nổi tiếng nhất với các tác phẩm thuộc trường phái De Stijl, chủ yếu làm từ những hình chữ nhật màu. Các nhà toán học đã mượn chúng cho một câu đố tưởng chừng đơn giản. Lấy một tấm toan hình vuông cạnh n. Cắt nó thành các hình chữ nhật có cạnh là số nguyên, tất cả đều thẳng hàng với các mép. Một quy tắc: không được có hai hình chữ nhật cùng hình dạng, kể cả sau khi xoay một hình đi một phần tư vòng — một hình 2 × 3 và một hình 3 × 2 không được cùng nằm trên tấm toan.

Giờ hãy so sánh diện tích của chúng. Hiệu giữa diện tích lớn nhất và nhỏ nhất là độ khuyết (defect). Câu hỏi là nó có thể nhỏ đến mức nào.

Cách cắt hoàn hảo chưa ai tìm ra

Một cách cắt có độ khuyết bằng không sẽ là hoàn hảo: các hình chữ nhật đều khác nhau về hình dạng, nhưng có diện tích đúng bằng nhau. Diện tích bằng nhau thôi chưa đủ; các mảnh còn phải ghép khít với nhau, không hở, không chồng. Không ai biết liệu có tồn tại một cách cắt hoàn hảo cho bất kỳ hình vuông nào hay không. Khả năng này đã bị loại trừ với mọi cạnh tới 1.000, và niềm tin chung là không có.

Đằng sau niềm tin đó là một niềm tin rộng hơn: rằng độ khuyết nhỏ nhất có thể, ký hiệu M(n), lớn dần theo kích thước hình vuông. Các ví dụ đã biết, tới n = 900, dường như xác nhận điều đó. Trong một bản tiền ấn phẩm tháng 9/2026, một nhóm khác đã công bố cận trên không tầm thường đầu tiên, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — một khoảng chênh vẫn có thể lớn lên không giới hạn.

Bảy hình chữ nhật và √19

Cooper O’Kuhn và Freeman Slaughter thuộc Đại học Nam Florida xuất phát từ một điều kỳ lạ đã biết: một cách cắt hình vuông thành bảy hình chữ nhật khác nhau có diện tích đúng bằng nhau. Điểm vướng là các cạnh không phải số nguyên; chúng có chứa √19, một số vô tỷ.

Ý tưởng của họ là thay √19 bằng các phân số p/q xấp xỉ nó ngày càng tốt hơn. Công cụ thích hợp là một phương trình được nghiên cứu kỹ trong lý thuyết số, phương trình Pell: ở đây, p² − 19q² phải giữ nguyên giá trị. Với lựa chọn đó, các cạnh trở thành số nguyên, và độ phân tán của diện tích chỉ phụ thuộc vào giá trị cố định ấy — chứ không phụ thuộc vào việc các con số lớn đến đâu. Họ chỉ ra rằng độ khuyết đúng bằng 140 × |p² − 19q²|.

Hình vuông cạnh 315

Trường hợp nhỏ nhất dùng p = 13 và q = 3, khi đó 13² − 19 × 3² = −2. Nó cho một hình vuông cạnh 315 được cắt thành:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 và 112 × 125.

Diện tích lớn nhất là 238 × 60 = 14.280; nhỏ nhất là 70 × 200 = 14.000. Độ khuyết là 280. Bảy diện tích cộng lại bằng 99.225, đúng bằng 315 × 315.

Mãi mãi 280

Rồi cách dựng được lặp lại. Độ dài cạnh tuân theo một quy tắc đơn giản: 315, rồi 106.785, rồi mỗi cạnh mới bằng 340 lần cạnh trước trừ đi cạnh trước nữa — 36.306.585, rồi 12.344.132.115, và cứ thế không bao giờ dừng. Mỗi hình vuông trong số này đều có thể cắt thành bảy hình chữ nhật khác nhau với độ khuyết đúng bằng 280.

Vậy là độ khuyết tối thiểu không tiếp tục lớn dần. Theo lời các tác giả, thậm chí không thể có một hàm nào tiến tới vô cùng — tuyến tính, logarit hay bất cứ dạng nào — luôn nằm dưới M(n) với mọi hình vuông đủ lớn. Điều đó lật đổ một giả thuyết mà họ mô tả là còn bỏ ngỏ kể từ khi bài toán được đề xuất lần đầu. Một biến thể của cùng phương pháp cho, với mọi số nguyên k, vô số hình vuông có cạnh chia hết cho k, với độ khuyết tối đa là 560.

Vẫn chưa có hình vuông hoàn hảo

Kết quả này không nói gì về các hình vuông nằm ngoài họ này, và không loại trừ một cách cắt hoàn hảo. Các tác giả thậm chí chứng minh rằng loại cách cắt bảy hình chữ nhật này không bao giờ xuống dưới 280: độ khuyết bằng không sẽ phải đến từ một ý tưởng hoàn toàn khác. Họ phỏng đoán rằng 280 là mức tốt nhất mà bảy hình chữ nhật này đạt được, gợi ý rằng tấm toan hình chữ nhật có thể còn làm tốt hơn, và chờ đợi “một loạt cải tiến nhanh chóng nối tiếp nhau”. Liệu có tồn tại một hình vuông Mondrian hoàn hảo hay không vẫn còn bỏ ngỏ — nhưng lập luận rằng nó không thể tồn tại, vì khoảng chênh phải lớn dần, đã không còn.