EL ROMPECABEZAS DE MONDRIAN: UNA DIFERENCIA QUE DEJA DE CRECER
El pintor neerlandés Piet Mondrian es conocido sobre todo por sus obras de De Stijl, compuestas en su mayoría por rectángulos de colores. Los matemáticos las han tomado prestadas para un rompecabezas engañosamente sencillo. Toma un lienzo cuadrado de lado n. Córtalo en rectángulos de lados enteros, todos alineados con los bordes. Una sola regla: no puede haber dos rectángulos con la misma forma, ni siquiera girando uno un cuarto de vuelta; un 2 × 3 y un 3 × 2 no pueden compartir lienzo.
Ahora compara sus áreas. La diferencia entre la mayor y la menor es el defecto. La pregunta es cuán pequeño puede ser.
El corte perfecto que nadie ha encontrado
Un corte con defecto cero sería perfecto: rectángulos todos de forma distinta, pero todos exactamente de la misma área. Que las áreas sean iguales no basta; las piezas también tienen que encajar sin huecos ni solapamientos. Nadie sabe si existe un corte perfecto para algún cuadrado. Se ha descartado para todos los lados hasta 1000, y la creencia general es que no existe ninguno.
Detrás de esa creencia había otra más amplia: que el menor defecto posible, escrito M(n), crece con el tamaño del cuadrado. Los ejemplos conocidos, hasta n = 900, parecían confirmarlo. En una prepublicación de septiembre de 2026, otro equipo presentó la primera cota superior no trivial, M(n) ≤ 10 n^(5/6): una diferencia que aún puede crecer sin fin.
Siete rectángulos y √19
Cooper O’Kuhn y Freeman Slaughter, de la Universidad del Sur de Florida, partieron de una curiosidad conocida: una forma de cortar un cuadrado en siete rectángulos distintos de área exactamente igual. El inconveniente es que sus lados no son números enteros; contienen √19, un número irracional.
Su idea es sustituir √19 por fracciones p/q que lo aproximen cada vez mejor. La herramienta adecuada es una ecuación muy estudiada de la teoría de números, la ecuación de Pell: aquí, p² − 19q² debe permanecer fijo. Con esa elección, los lados se vuelven números enteros, y la dispersión de las áreas solo depende de ese valor fijo, no de lo grandes que se hagan los números. Demuestran que el defecto es exactamente 140 × |p² − 19q²|.
El cuadrado de 315
El caso más pequeño usa p = 13 y q = 3, para los que 13² − 19 × 3² = −2. Da un cuadrado de lado 315 cortado en:
259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 y 112 × 125.
El área mayor es 238 × 60 = 14 280; la menor, 70 × 200 = 14 000. El defecto es 280. Las siete áreas suman 99 225, que es efectivamente 315 × 315.
Siempre 280
Después, la construcción se repite. Las longitudes de los lados siguen una regla sencilla: 315, luego 106 785, y después cada lado nuevo es 340 veces el anterior menos el de antes: 36 306 585, luego 12 344 132 115, y así sin fin. Cada uno de estos cuadrados puede cortarse en siete rectángulos distintos con un defecto de exactamente 280.
Así que el defecto mínimo no sigue creciendo. En palabras de los autores, ni siquiera puede existir una función que tienda a infinito —lineal, logarítmica o de cualquier otro tipo— que se mantenga por debajo de M(n) para todo cuadrado suficientemente grande. Eso derriba una conjetura que describen como abierta desde que se planteó el problema por primera vez. Una variante del mismo método proporciona, para cualquier número entero k, infinitos cuadrados cuyo lado es divisible por k, con un defecto de como mucho 560.
Todavía ningún cuadrado perfecto
El resultado no dice nada de los cuadrados fuera de esta familia, y no descarta un corte perfecto. Los autores incluso demuestran que este tipo de corte en siete rectángulos nunca puede bajar de 280: un defecto cero tendría que venir de una idea completamente distinta. Conjeturan que 280 es lo mejor que pueden lograr estos siete rectángulos, proponen que los lienzos rectangulares podrían hacerlo aún mejor y esperan «una rápida oleada de mejoras progresivas». Si existe un cuadrado de Mondrian perfecto sigue siendo una pregunta abierta, pero el argumento de que no puede existir porque la diferencia debe crecer ha desaparecido.