मोंड्रियन की पहेली: एक अंतर जो बढ़ना बंद कर देता है

डच चित्रकार पीट मोंड्रियन अपनी डे स्टाइल (De Stijl) कृतियों के लिए सबसे ज़्यादा जाने जाते हैं, जो ज़्यादातर रंगीन आयतों से बनी हैं। गणितज्ञों ने इन्हें एक भ्रामक रूप से सरल पहेली के लिए उधार लिया है। n भुजा वाला एक वर्गाकार कैनवास लीजिए। उसे पूर्णांक भुजाओं वाले आयतों में काटिए, जो सब किनारों के समानांतर हों। एक नियम: कोई भी दो आयत एक ही आकार के नहीं हो सकते, एक को चौथाई घुमाने के बाद भी नहीं — 2 × 3 और 3 × 2 एक ही कैनवास पर साथ नहीं रह सकते।

अब उनके क्षेत्रफलों की तुलना कीजिए। सबसे बड़े और सबसे छोटे के बीच का अंतर दोष (defect) है। सवाल यह है कि यह कितना छोटा हो सकता है।

वह पूर्ण कटाव जो किसी को नहीं मिला

शून्य दोष वाला कटाव पूर्ण होगा: आयत आकार में सब अलग, फिर भी सबका क्षेत्रफल बिल्कुल बराबर। केवल बराबर क्षेत्रफल काफ़ी नहीं हैं; टुकड़ों को बिना किसी खाली जगह या ओवरलैप के आपस में फ़िट भी होना चाहिए। कोई नहीं जानता कि किसी भी वर्ग के लिए पूर्ण कटाव मौजूद है या नहीं। 1,000 तक की हर भुजा के लिए इसे ख़ारिज किया जा चुका है, और आम धारणा है कि ऐसा कोई नहीं है।

उस धारणा के पीछे एक व्यापक धारणा थी: कि सबसे छोटा संभव दोष, जिसे M(n) लिखा जाता है, वर्ग के आकार के साथ बढ़ता है। n = 900 तक के ज्ञात उदाहरण यही कहते लगते थे। सितंबर 2026 के एक प्रीप्रिंट में, एक दूसरी टीम ने पहली गैर-तुच्छ ऊपरी सीमा बताई, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — एक ऐसा अंतर जो फिर भी बिना अंत बढ़ सकता है।

सात आयत और √19

यूनिवर्सिटी ऑफ़ साउथ फ़्लोरिडा के Cooper O’Kuhn और Freeman Slaughter ने एक ज्ञात कौतूहल से शुरुआत की: एक वर्ग को बिल्कुल बराबर क्षेत्रफल वाले सात अलग-अलग आयतों में काटने का एक तरीका। इसकी दिक़्क़त यह है कि भुजाएँ पूर्णांक नहीं हैं; उनमें √19, एक अपरिमेय संख्या, शामिल है।

उनका विचार है √19 को ऐसे भिन्नों p/q से बदलना जो उसका लगातार बेहतर सन्निकटन करें। सही उपकरण संख्या सिद्धांत का एक भली-भाँति अध्ययन किया गया समीकरण है, पेल का समीकरण: यहाँ p² − 19q² स्थिर रहना चाहिए। इस चुनाव के साथ भुजाएँ पूर्णांक बन जाती हैं, और क्षेत्रफलों का फैलाव केवल उस स्थिर मान पर निर्भर करता है — इस पर नहीं कि संख्याएँ कितनी बड़ी होती हैं। वे दिखाते हैं कि दोष ठीक 140 × |p² − 19q²| के बराबर है।

315 का वर्ग

सबसे छोटा मामला p = 13 और q = 3 लेता है, जिसके लिए 13² − 19 × 3² = −2। इससे 315 भुजा वाला एक वर्ग मिलता है, जो इनमें कटा है:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 और 112 × 125।

सबसे बड़ा क्षेत्रफल 238 × 60 = 14,280 है; सबसे छोटा, 70 × 200 = 14,000। दोष 280 है। सातों क्षेत्रफलों का योग 99,225 है, जो वास्तव में 315 × 315 है।

हमेशा 280

फिर यह रचना दोहराई जाती है। भुजाओं की लंबाइयाँ एक सरल नियम का पालन करती हैं: 315, फिर 106,785, फिर हर नई भुजा पिछली की 340 गुना घटा उससे पहले वाली — 36,306,585, फिर 12,344,132,115, और इसी तरह अनंत तक। इनमें से हर वर्ग को ठीक 280 के दोष के साथ सात अलग-अलग आयतों में काटा जा सकता है।

तो न्यूनतम दोष बढ़ता नहीं रहता। लेखकों के शब्दों में, ऐसा कोई फलन हो ही नहीं सकता जो अनंत की ओर जाता हो — रेखीय, लघुगणकीय या कुछ और — और हर पर्याप्त बड़े वर्ग के लिए M(n) से नीचे रहे। यह एक ऐसे अनुमान (conjecture) को उलट देता है जिसे वे समस्या के पहली बार प्रस्तावित होने के समय से खुला बताते हैं। उसी विधि का एक रूपांतर, किसी भी पूर्ण संख्या k के लिए, अनंत रूप से अनेक ऐसे वर्ग देता है जिनकी भुजा k से विभाज्य हो, और जिनका दोष अधिकतम 560 हो।

अब भी कोई पूर्ण वर्ग नहीं

यह परिणाम इस परिवार से बाहर के वर्गों के बारे में कुछ नहीं कहता, और पूर्ण कटाव को ख़ारिज नहीं करता। लेखक यह भी सिद्ध करते हैं कि इस तरह का सात-आयत वाला कटाव कभी 280 से नीचे नहीं जा सकता: शून्य दोष किसी बिल्कुल अलग विचार से ही आ सकता है। उनका अनुमान है कि ये सात आयत 280 से बेहतर नहीं कर सकते, वे सुझाते हैं कि आयताकार कैनवास शायद और बेहतर कर सकें, और “क्रमिक सुधारों की एक तेज़ झड़ी” की उम्मीद करते हैं। क्या कोई पूर्ण मोंड्रियन वर्ग मौजूद है, यह अब भी खुला है — लेकिन यह तर्क कि वह नहीं हो सकता क्योंकि अंतर को बढ़ना ही है, अब नहीं रहा।