ГОЛОВОЛОМКА МОНДРИАНА: РАЗРЫВ, КОТОРЫЙ ПЕРЕСТАЁТ РАСТИ

Нидерландский художник Пит Мондриан наиболее известен своими работами в духе «Де Стейл», составленными в основном из цветных прямоугольников. Математики позаимствовали их для обманчиво простой головоломки. Возьмите квадратный холст со стороной n. Разрежьте его на прямоугольники с целочисленными сторонами, параллельными краям. Одно правило: никакие два прямоугольника не могут иметь одинаковую форму, даже если один из них повернуть на четверть оборота, — прямоугольники 2 × 3 и 3 × 2 не могут оказаться на одном холсте.

Теперь сравним их площади. Разность между наибольшей и наименьшей — это дефект. Вопрос в том, насколько малым он может быть.

Идеальное разрезание, которого никто не нашёл

Разрезание с нулевым дефектом было бы идеальным: прямоугольники все разной формы, но все строго одинаковой площади. Одних равных площадей мало: куски должны ещё и складываться без зазоров и наложений. Никто не знает, существует ли идеальное разрезание хоть для какого-нибудь квадрата. Оно исключено для всех сторон до 1000, и общепринятое мнение — что его нет.

За этим мнением стояло более широкое: что наименьший возможный дефект, обозначаемый M(n), растёт с размером квадрата. Известные примеры, вплоть до n = 900, вроде бы это подтверждали. В препринте сентября 2026 года другая команда сообщила о первой нетривиальной верхней оценке, M(n) ≤ 10 n^(5/6), — разрыве, который всё ещё может расти неограниченно.

Семь прямоугольников и √19

Купер О’Кун и Фримен Слотер из Университета Южной Флориды отталкивались от известного курьёза: способа разрезать квадрат на семь различных прямоугольников строго равной площади. Загвоздка в том, что стороны там не целые: в них входит √19, иррациональное число.

Их идея — заменить √19 дробями p/q, приближающими его всё лучше и лучше. Подходящий инструмент — хорошо изученное уравнение теории чисел, уравнение Пелля: здесь величина p² − 19q² должна оставаться постоянной. При таком выборе стороны становятся целыми, а разброс площадей зависит только от этой постоянной величины — а не от того, насколько велики числа. Авторы показывают, что дефект в точности равен 140 × |p² − 19q²|.

Квадрат со стороной 315

Наименьший случай использует p = 13 и q = 3, для которых 13² − 19 × 3² = −2. Он даёт квадрат со стороной 315, разрезанный на:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 и 112 × 125.

Наибольшая площадь — 238 × 60 = 14 280; наименьшая — 70 × 200 = 14 000. Дефект равен 280. Сумма семи площадей — 99 225, что действительно равно 315 × 315.

Навсегда 280

Затем построение повторяется. Длины сторон подчиняются простому правилу: 315, затем 106 785, затем каждая новая сторона равна предыдущей, умноженной на 340, минус та, что была перед ней, — 36 306 585, затем 12 344 132 115 и так далее без конца. Каждый из этих квадратов можно разрезать на семь различных прямоугольников с дефектом ровно 280.

Значит, минимальный дефект не растёт бесконечно. По словам авторов, не может существовать даже функции, стремящейся к бесконечности, — линейной, логарифмической или любой другой, — которая оставалась бы ниже M(n) для всех достаточно больших квадратов. Это опровергает гипотезу, которая, по их описанию, оставалась открытой с момента первой постановки задачи. Вариант того же метода даёт для любого целого k бесконечно много квадратов со стороной, кратной k, с дефектом не больше 560.

Идеального квадрата всё ещё нет

Результат ничего не говорит о квадратах вне этого семейства и не исключает идеального разрезания. Авторы даже доказывают, что такое разрезание на семь прямоугольников никогда не может опуститься ниже 280: нулевой дефект должен был бы получиться из совершенно другой идеи. Они предполагают, что 280 — лучшее, на что способны эти семь прямоугольников, допускают, что прямоугольные холсты могут дать ещё лучший результат, и ожидают «быстрой череды последовательных улучшений». Существует ли идеальный квадрат Мондриана, остаётся открытым вопросом, — но довод, что его не может быть, потому что разрыв обязан расти, отпал.