معمای موندریان: شکافی که دیگر بزرگ نمی‌شود

نقاش هلندی، پیت موندریان، بیش از همه با آثار «د استیل» (De Stijl) خود شناخته می‌شود که بیشترشان از مستطیل‌های رنگی ساخته شده‌اند. ریاضی‌دانان آن‌ها را برای معمایی به‌ظاهر ساده وام گرفته‌اند. بومی مربعی به ضلع n بردارید. آن را به مستطیل‌هایی با ضلع‌های عدد صحیح ببرید که همه با لبه‌های بوم هم‌راستا باشند. یک قاعده: هیچ دو مستطیلی نباید هم‌شکل باشند، حتی اگر یکی را یک‌چهارم دور بچرخانیم — یک 2 × 3 و یک 3 × 2 نمی‌توانند روی یک بوم باشند.

حالا مساحت‌هایشان را مقایسه کنید. تفاوت بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین، نقص (defect) است. پرسش این است که این نقص تا چه حد می‌تواند کوچک باشد.

برش بی‌نقصی که کسی نیافته است

برشی با نقص صفر بی‌نقص خواهد بود: مستطیل‌هایی همه با شکل‌های متفاوت، اما همه دقیقاً با یک مساحت. برابری مساحت‌ها به‌تنهایی کافی نیست؛ قطعه‌ها باید بی هیچ شکاف یا هم‌پوشانی کنار هم جا بیفتند. هیچ‌کس نمی‌داند آیا برش بی‌نقصی برای هیچ مربعی وجود دارد یا نه. این امکان برای همهٔ ضلع‌ها تا 1,000 رد شده است و باور عمومی این است که چنین برشی وجود ندارد.

پشت این باور، باوری گسترده‌تر نهفته بود: اینکه کوچک‌ترین نقص ممکن، که آن را M(n) می‌نویسند، با اندازهٔ مربع بزرگ می‌شود. نمونه‌های شناخته‌شده تا n = 900 ظاهراً همین را می‌گفتند. در پیش‌انتشاری در سپتامبر 2026، تیمی دیگر نخستین کران بالای غیربدیهی را گزارش کرد، M(n) ≤ 10 n^(5/6) — شکافی که هنوز می‌تواند بی‌پایان بزرگ شود.

هفت مستطیل و √19

Cooper O’Kuhn و Freeman Slaughter از دانشگاه فلوریدای جنوبی از یک کنجکاوی شناخته‌شده آغاز کردند: راهی برای بریدن یک مربع به هفت مستطیل متفاوت با مساحت دقیقاً برابر. اشکالش این است که ضلع‌ها عدد صحیح نیستند؛ در آن‌ها √19، عددی گنگ، حضور دارد.

ایدهٔ آن‌ها این است که √19 را با کسرهای p/q که هرچه بهتر به آن نزدیک می‌شوند جایگزین کنند. ابزار مناسب، معادله‌ای پرمطالعه از نظریهٔ اعداد است، معادلهٔ پل (Pell’s equation): در اینجا p² − 19q² باید ثابت بماند. با این انتخاب، ضلع‌ها عدد صحیح می‌شوند و پراکندگی مساحت‌ها تنها به همان مقدار ثابت بستگی دارد — نه به اینکه اعداد چقدر بزرگ شوند. آن‌ها نشان می‌دهند که نقص دقیقاً برابر 140 × |p² − 19q²| است.

مربع 315

کوچک‌ترین حالت از p = 13 و q = 3 استفاده می‌کند، که برای آن 13² − 19 × 3² = −2. این مربعی به ضلع 315 می‌دهد که به این مستطیل‌ها بریده شده است:

259 × 55، 56 × 255، 238 × 60، 77 × 185، 189 × 75، 70 × 200 و 112 × 125.

بزرگ‌ترین مساحت 238 × 60 = 14,280 است؛ کوچک‌ترین، 70 × 200 = 14,000. نقص 280 است. مجموع هفت مساحت 99,225 می‌شود، که به‌راستی برابر 315 × 315 است.

همیشه 280

سپس این ساخت تکرار می‌شود. طول ضلع‌ها از قاعده‌ای ساده پیروی می‌کنند: 315، سپس 106,785، سپس هر ضلع تازه برابر است با 340 برابر ضلع پیشین منهای ضلع پیش از آن — 36,306,585، سپس 12,344,132,115، و همین‌طور تا بی‌نهایت. هر یک از این مربع‌ها را می‌توان به هفت مستطیل متفاوت با نقصی دقیقاً برابر 280 برید.

پس کمینهٔ نقص به بزرگ شدن ادامه نمی‌دهد. به بیان نویسندگان، حتی نمی‌تواند تابعی وجود داشته باشد که به بی‌نهایت میل کند — خطی، لگاریتمی یا هر چیز دیگر — و برای هر مربع به‌اندازهٔ کافی بزرگ زیر M(n) بماند. این حدسی را واژگون می‌کند که به گفتهٔ آن‌ها از زمان نخستین طرح مسئله باز مانده بود. گونه‌ای از همین روش، برای هر عدد صحیح k، بی‌نهایت مربع می‌دهد که ضلعشان بر k بخش‌پذیر است و نقصشان حداکثر 560 است.

هنوز هیچ مربع بی‌نقصی نیست

این نتیجه دربارهٔ مربع‌های بیرون از این خانواده چیزی نمی‌گوید و برش بی‌نقص را هم رد نمی‌کند. نویسندگان حتی ثابت می‌کنند که این نوع برش هفت‌مستطیلی هرگز نمی‌تواند به زیر 280 برسد: نقص صفر باید از ایده‌ای یکسره متفاوت بیاید. آن‌ها حدس می‌زنند که 280 بهترین کاری است که این هفت مستطیل می‌توانند بکنند، پیشنهاد می‌کنند که بوم‌های مستطیلی شاید از این هم بهتر عمل کنند، و انتظار «موجی سریع از بهبودهای پیاپی» را دارند. اینکه آیا مربع بی‌نقص موندریان وجود دارد هنوز باز است — اما این استدلال که نمی‌تواند وجود داشته باشد، چون شکاف ناگزیر بزرگ می‌شود، دیگر از میان رفته است.