مونڈریان دی بجھارت: اک فرق جیہڑا ودھنا بند کر دیندا اے

ڈچ مصور Piet Mondrian اپنے De Stijl کماں لئی سب توں ودھ مشہور اے، جیہڑے بہتے رنگین مستطیلاں نال بنے نیں۔ ریاضی داناں نے ایہناں نوں اک ایسی بجھارت لئی ادھار لیا جیہڑی ویکھن وچ سادی اے پر اے نہیں۔ n بھجا والا اک مربع کینوس لوو۔ ایہنوں پورے عدداں والیاں بھجاواں والے مستطیلاں وچ کٹو، سارے کنارےاں نال سدھے۔ اک اصول: کوئی دو مستطیل اکو شکل دے نہیں ہو سکدے، بھاویں اک نوں چوتھائی گھما دتا جاوے — 2 × 3 تے 3 × 2 اکو کینوس اُتے نہیں آ سکدے۔

ہن اوہناں دے رقبیاں دا موازنہ کرو۔ سب توں وڈے تے سب توں نکے دا فرق نقص (defect) اے۔ سوال ایہہ اے پئی ایہہ کنا نکا ہو سکدا اے۔

اوہ مکمل کٹ جیہڑا کسے نوں نہیں لبھیا

صفر نقص والا کٹ مکمل ہووے گا: مستطیل شکل وچ سارے وکھرے، فیر وی سارے ٹھیک اکو رقبے دے۔ برابر رقبے آپ کافی نہیں؛ ٹکڑیاں نوں بغیر خلا یاں اک دوجے اُتے چڑھے جڑنا وی چاہیدا اے۔ کسے نوں نہیں پتہ پئی کسے وی مربعے لئی مکمل کٹ ہے وی یاں نہیں۔ 1,000 تیک ہر بھجا لئی ایہہ رد ہو چکیا اے، تے عام خیال ایہہ اے پئی کوئی نہیں۔

ایس خیال پچھے اک ہور وڈا خیال سی: پئی سب توں نکا ممکن نقص، جنہوں M(n) لکھیا جاندا اے، مربعے دے سائز نال ودھدا اے۔ n = 900 تیک دیاں جانیاں پچھانیاں مثالاں ایہو آکھدیاں لگدیاں سن۔ ستمبر 2026 دے اک پری پرنٹ وچ، اک ہور ٹیم نے پہلی غیر معمولی اتلی حد دسی، M(n) ≤ 10 n^(5/6) — اک ایسا فرق جیہڑا فیر وی بے حد ودھ سکدا اے۔

ست مستطیل تے √19

یونیورسٹی آف ساؤتھ فلوریڈا دے Cooper O’Kuhn تے Freeman Slaughter نے اک جانی پچھانی انوکھی گل توں شروع کیتا: اک مربعے نوں ٹھیک برابر رقبے والے ست وکھرے مستطیلاں وچ کٹن دا اک طریقہ۔ ایہدی اوکڑ ایہہ اے پئی بھجاواں پورے عدد نہیں؛ ایہناں وچ √19، اک غیر ناطق عدد، آندا اے۔

اوہناں دا خیال ایہہ اے پئی √19 دی تھاں p/q کسر رکھے جان جیہڑے ایہدے ودھ توں ودھ نیڑے ہون۔ ٹھیک اوزار نمبر تھیوری دی اک چنگی طرحاں پڑھی گئی مساوات اے، Pell مساوات: ایتھے، p² − 19q² نوں مقرر رہنا چاہیدا اے۔ ایس چون نال، بھجاواں پورے عدد بن جاندیاں نیں، تے رقبیاں دا پھیلاؤ صرف اوس مقرر قدر اُتے منحصر ہوندا اے — ایس اُتے نہیں پئی عدد کنے وڈے ہوندے نیں۔ اوہ وکھاندے نیں پئی نقص ٹھیک 140 × |p² − 19q²| دے برابر اے۔

315 دا مربع

سب توں نکی صورت p = 13 تے q = 3 ورتدی اے، جس لئی 13² − 19 × 3² = −2۔ ایہہ 315 بھجا والا مربع دیندی اے جیہڑا ایہناں وچ کٹیا اے:

259 × 55، 56 × 255، 238 × 60، 77 × 185، 189 × 75، 70 × 200 تے 112 × 125۔

سب توں وڈا رقبہ 238 × 60 = 14,280 اے؛ سب توں نکا، 70 × 200 = 14,000۔ نقص 280 اے۔ ستاں رقبیاں دا جوڑ 99,225 بندا اے، جیہڑا سچی مچی 315 × 315 اے۔

ہمیشہ لئی 280

فیر بناوٹ دہرائی جاندی اے۔ بھجاواں دیاں لمبائیاں اک سادے اصول اُتے چلدیاں نیں: 315، فیر 106,785، فیر ہر نویں بھجا پچھلی دا 340 گنا گھٹا اوہدے توں پہلاں والی — 36,306,585، فیر 12,344,132,115، تے انج ای بے انت۔ ایہناں وچوں ہر مربع ٹھیک 280 نقص نال ست وکھرے مستطیلاں وچ کٹیا جا سکدا اے۔

سو سب توں نکا نقص ودھدا نہیں رہندا۔ لکھاریاں دے لفظاں وچ، کوئی ایسا فنکشن وی نہیں ہو سکدا جیہڑا لامحدود ول جاوے — لکیری، لوگارتھمی یاں کجھ ہور — تے ہر کافی وڈے مربعے لئی M(n) توں تھلے رہوے۔ ایہہ اک ایسے قیاس (conjecture) نوں الٹا دیندا اے جنہوں اوہ مسئلہ پہلی واری پیش ہون توں کھلا دسدے نیں۔ ایسے طریقے دی اک ہور شکل، ہر پورے عدد k لئی، بے انت ایسے مربعے دیندی اے جنہاں دی بھجا k نال ونڈی جاندی اے، تے نقص ودھ توں ودھ 560۔

اجے وی کوئی مکمل مربع نہیں

ایہہ نتیجہ ایس ٹبر توں باہر دے مربعیاں بارے کجھ نہیں آکھدا، تے مکمل کٹ نوں رد نہیں کردا۔ لکھاری ایہہ وی ثابت کردے نیں پئی ست مستطیلاں والا ایس قسم دا کٹ کدے 280 توں تھلے نہیں جا سکدا: صفر نقص نوں بالکل ای وکھرے خیال توں آنا پوے گا۔ اوہناں دا قیاس اے پئی 280 ایہناں ست مستطیلاں دا سب توں چنگا اے، اوہ تجویز دیندے نیں پئی مستطیل کینوس شاید ایہدے توں وی چنگا کر سکن، تے “تیز رفتار سدھاراں دی اک لہر” دی امید رکھدے نیں۔ کیہ کوئی مکمل Mondrian مربع ہے، ایہہ اجے وی کھلا سوال اے — پر ایہہ دلیل پئی ایہہ نہیں ہو سکدا، کیوں جے فرق نوں ودھنا ای چاہیدا اے، مک گئی اے۔