モンドリアンのパズル：広がるのをやめた差

オランダの画家ピート・モンドリアンは、主に色のついた長方形でできたデ・ステイル（De Stijl）の作品で最もよく知られている。数学者たちはそれを借りて、見かけは単純なパズルを作った。一辺nの正方形のキャンバスを用意する。それを、辺の長さが整数で、すべて縁にそろった長方形に切り分ける。ルールはひとつ。どの2つの長方形も同じ形であってはならない。片方を90度回転させても同じになってはいけない。つまり2 × 3と3 × 2は同じキャンバスに共存できない。

そこで面積を比べる。最大のものと最小のものの差が欠損（defect）だ。問題は、それをどこまで小さくできるかである。

誰も見つけていない完全な切り分け

欠損がゼロの切り分けは完全だ。形はすべて違うのに、面積はすべてぴったり同じになる。面積が等しいだけでは足りない。ピースが隙間も重なりもなくぴったり組み合わさらなければならない。どんな正方形についても、完全な切り分けが存在するかどうかは誰にもわかっていない。一辺1,000までのすべての正方形では否定されており、一般には存在しないと信じられている。

その信念の背後には、もっと広い信念があった。可能な最小の欠損、M(n)と書かれるものは、正方形の大きさとともに大きくなる、というものだ。n = 900までの既知の例はそれを裏づけているように見えた。2026年9月のプレプリントで、別のチームが初めて非自明な上限、M(n) ≤ 10 n^(5/6)を報告した。これは、差がまだ限りなく大きくなりうる上限だ。

7つの長方形と√19

サウスフロリダ大学のクーパー・オクーン（Cooper O’Kuhn）とフリーマン・スローター（Freeman Slaughter）は、知られていたひとつの珍しい例から出発した。正方形を、面積がぴったり等しい7つの異なる長方形に切り分ける方法だ。ただし難点があって、辺の長さが整数ではない。そこには無理数の√19が含まれている。

彼らのアイデアは、√19を、それをますますよく近似する分数p/qで置き換えることだ。そのための適切な道具が、数論でよく研究されてきた方程式、ペル方程式である。ここでは、p² − 19q²が一定に保たれなければならない。そう選べば、辺の長さは整数になり、面積のばらつきはその一定の値だけで決まる。数がどれだけ大きくなっても関係ない。彼らは、欠損がちょうど**140 × |p² − 19q²|**に等しいことを示した。

一辺315の正方形

最も小さい場合はp = 13、q = 3を使う。このとき13² − 19 × 3² = −2だ。これで一辺315の正方形が、次のように切り分けられる。

259 × 55、56 × 255、238 × 60、77 × 185、189 × 75、70 × 200、112 × 125。

最大の面積は238 × 60 = 14,280、最小は70 × 200 = 14,000。欠損は280だ。7つの面積を足すと99,225になり、これはたしかに315 × 315である。

いつまでも280

そしてこの構成はくり返される。辺の長さは単純な規則に従う。315、次に106,785、そのあとは、新しい辺がそれぞれ直前の辺の340倍からさらにその前の辺を引いたものになる。36,306,585、次に12,344,132,115、と際限なく続く。これらの正方形はどれも、欠損がちょうど280の、7つの異なる長方形に切り分けられる。

つまり、最小の欠損は大きくなり続けはしない。著者らの言葉を借りれば、十分大きなすべての正方形でM(n)を下回り続けるような、無限大に向かう関数（線形でも対数でも、ほかの何であれ）はひとつも存在しえない。これは、問題が最初に提案されて以来未解決だったと著者らが述べる予想をくつがえすものだ。同じ方法の変形を使うと、任意の整数kについて、一辺がkで割り切れ、欠損が最大でも560の正方形が無数に得られる。

完全な正方形はまだない

この結果は、この族に属さない正方形については何も語らず、完全な切り分けを否定するものでもない。著者らはさらに、この種の7つの長方形による切り分けでは決して280を下回れないことも証明している。欠損ゼロは、まったく別のアイデアから来なければならない。彼らは、280がこの7つの長方形にできる最善だと予想し、長方形のキャンバスならもっとよくなるかもしれないと提案し、「次々と改良が相次ぐ」ことを期待している。完全なモンドリアン正方形が存在するかどうかは未解決のままだ。だが、差は大きくなるはずだから存在しえない、という論拠は消え去った。