मॉन्ड्रियनचे कोडे: वाढणे थांबवणारी तफावत

डच चित्रकार पीट मॉन्ड्रियन मुख्यतः रंगीत आयतांनी बनलेल्या त्याच्या De Stijl शैलीतील कलाकृतींसाठी सर्वाधिक ओळखला जातो. गणितज्ञांनी त्या एका फसव्या साध्या कोड्यासाठी उसन्या घेतल्या आहेत. n बाजूचा एक चौरस कॅनव्हास घ्या. तो पूर्णांक बाजू असलेल्या, सर्व कडांशी समांतर आयतांमध्ये कापा. एकच नियम: कोणत्याही दोन आयतांचा आकार सारखा असता कामा नये, एकाला पाव फेरी फिरवल्यानंतरसुद्धा — 2 × 3 आणि 3 × 2 हे एकाच कॅनव्हासवर असू शकत नाहीत.

आता त्यांची क्षेत्रफळे तुलना करा. सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान क्षेत्रफळातील फरक म्हणजे न्यूनता (defect). प्रश्न असा की ती किती लहान असू शकते.

कुणालाही न सापडलेली परिपूर्ण कापणी

शून्य न्यूनता असलेली कापणी परिपूर्ण ठरेल: आकाराने सर्व आयत वेगवेगळे, तरीही सर्वांचे क्षेत्रफळ अगदी सारखे. केवळ समान क्षेत्रफळे पुरेशी नाहीत; तुकडे कोणतीही फट किंवा एकमेकांवर येणे न होता एकत्र बसलेही पाहिजेत. कोणत्याही चौरसासाठी परिपूर्ण कापणी अस्तित्वात आहे की नाही हे कुणालाही माहीत नाही. 1,000 पर्यंतच्या प्रत्येक बाजूसाठी ती नाकारली गेली आहे, आणि सर्वसाधारण समज असा आहे की ती अस्तित्वात नाही.

त्या समजुतीमागे एक व्यापक समजूत होती: शक्य तितकी सर्वात लहान न्यूनता, जी M(n) अशी लिहिली जाते, चौरसाच्या आकाराबरोबर वाढते. n = 900 पर्यंतची ज्ञात उदाहरणे हेच सांगत असल्यासारखी वाटत होती. सप्टेंबर 2026 मधील एका प्रीप्रिंटमध्ये, दुसऱ्या एका संघाने पहिली अक्षुल्लक वरची मर्यादा नोंदवली, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — एक अशी तफावत जी अजूनही अमर्याद वाढू शकते.

सात आयत आणि √19

युनिव्हर्सिटी ऑफ साउथ फ्लोरिडाचे कूपर ओ’कुन (Cooper O’Kuhn) आणि फ्रीमन स्लॉटर (Freeman Slaughter) यांनी एका ज्ञात कुतूहलापासून सुरुवात केली: चौरसाला अगदी समान क्षेत्रफळाच्या सात वेगवेगळ्या आयतांमध्ये कापण्याची एक पद्धत. यातली अडचण अशी की बाजू पूर्णांक नाहीत; त्यांत √19 ही अपरिमेय संख्या येते.

त्यांची कल्पना अशी की √19 ऐवजी तिचे अधिकाधिक चांगले अंदाजन करणारे p/q हे अपूर्णांक वापरायचे. यासाठी योग्य साधन म्हणजे संख्या सिद्धांतात सखोल अभ्यासलेले एक समीकरण, पेलचे समीकरण: येथे p² − 19q² स्थिर राहिले पाहिजे. ही निवड केल्यावर बाजू पूर्णांक होतात, आणि क्षेत्रफळांचा फैलाव केवळ त्या स्थिर मूल्यावर अवलंबून राहतो — संख्या कितीही मोठ्या झाल्या तरी त्यावर नाही. ते दाखवतात की न्यूनता अगदी 140 × |p² − 19q²| इतकी असते.

315 चा चौरस

सर्वात लहान उदाहरण p = 13 आणि q = 3 वापरते, ज्यासाठी 13² − 19 × 3² = −2. त्यातून 315 बाजूचा चौरस मिळतो, जो पुढीलप्रमाणे कापला जातो:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 आणि 112 × 125.

सर्वात मोठे क्षेत्रफळ 238 × 60 = 14,280; सर्वात लहान, 70 × 200 = 14,000. न्यूनता 280 आहे. सात क्षेत्रफळांची बेरीज 99,225 होते, जी खरोखरच 315 × 315 आहे.

सदैव 280

मग ही रचना पुनरावृत्त होते. बाजूंच्या लांबी एका साध्या नियमाचे पालन करतात: 315, मग 106,785, मग प्रत्येक नवी बाजू म्हणजे मागच्या बाजूच्या 340 पट वजा त्याच्या आधीची बाजू — 36,306,585, मग 12,344,132,115, आणि असेच अखंड. यांपैकी प्रत्येक चौरस अगदी 280 न्यूनतेसह सात वेगवेगळ्या आयतांमध्ये कापता येतो.

म्हणजे किमान न्यूनता वाढत राहत नाही. लेखकांच्या शब्दांत, अनंताकडे जाणारे असे कोणतेही फलन असूच शकत नाही — रेषीय, लॉगरिदमिक किंवा इतर काहीही — जे पुरेशा मोठ्या प्रत्येक चौरसासाठी M(n) च्या खाली राहील. यामुळे एक अटकळ उलथून पडते, जी हा प्रश्न प्रथम मांडल्यापासून अनुत्तरित होती असे ते वर्णन करतात. याच पद्धतीचा एक प्रकार, कोणत्याही पूर्णांक k साठी, अशा अनंत चौरसांची निर्मिती करतो ज्यांची बाजू k ने भाग जाते, आणि ज्यांची न्यूनता जास्तीत जास्त 560 असते.

अजूनही परिपूर्ण चौरस नाही

हा निष्कर्ष या कुटुंबाबाहेरील चौरसांबद्दल काहीही सांगत नाही, आणि परिपूर्ण कापणी नाकारत नाही. लेखक तर हेही सिद्ध करतात की अशा प्रकारची सात-आयत कापणी कधीही 280 च्या खाली जाऊ शकत नाही: शून्य न्यूनता पूर्णपणे वेगळ्याच कल्पनेतून यावी लागेल. ते अटकळ मांडतात की 280 हेच हे सात आयत करू शकतील असे सर्वोत्तम आहे, आयताकृती कॅनव्हास कदाचित याहूनही चांगले करू शकतील असे सुचवतात, आणि “पाठोपाठ होणाऱ्या सुधारणांच्या जलद मालिकेची” अपेक्षा करतात. परिपूर्ण मॉन्ड्रियन चौरस अस्तित्वात आहे की नाही हा प्रश्न खुलाच आहे — पण तफावत वाढलीच पाहिजे म्हणून तो अस्तित्वात असू शकत नाही, हा युक्तिवाद आता संपला आहे.