FUMBO LA MONDRIAN: PENGO LINALOACHA KUKUA

Mchoraji wa Kiholanzi Piet Mondrian anajulikana zaidi kwa kazi zake za De Stijl, zilizoundwa zaidi na mistatili ya rangi. Wanahisabati wamezitumia kwa fumbo linaloonekana rahisi kwa udanganyifu. Chukua turubai ya mraba yenye upande n. Ikate kuwa mistatili yenye pande za namba kamili, yote ikiwa sambamba na kingo. Kanuni moja: hakuna mistatili miwili inayoweza kuwa na umbo moja, hata baada ya kuzungusha mmoja robo ya mzunguko — mstatili wa 2 × 3 na wa 3 × 2 haiwezi kushiriki turubai moja.

Sasa linganisha maeneo yake. Tofauti kati ya eneo kubwa zaidi na dogo zaidi ndiyo kasoro (defect). Swali ni inaweza kuwa ndogo kiasi gani.

Ukataji kamilifu ambao hakuna aliyeupata

Ukataji wenye kasoro ya sifuri ungekuwa kamilifu: mistatili yote tofauti kwa umbo, lakini yote yenye eneo sawa kabisa. Maeneo sawa pekee hayatoshi; vipande pia lazima viungane bila mwanya wala kupishana. Hakuna anayejua kama ukataji kamilifu upo kwa mraba wowote. Umekataliwa kwa kila upande hadi 1,000, na imani ya jumla ni kwamba haupo.

Nyuma ya imani hiyo kulikuwa na imani pana zaidi: kwamba kasoro ndogo kabisa inayowezekana, inayoandikwa M(n), hukua kadiri ukubwa wa mraba unavyoongezeka. Mifano iliyojulikana, hadi n = 900, ilionekana kusema hivyo. Katika chapisho la awali (preprint) la Septemba 2026, timu nyingine iliripoti kikomo cha juu cha kwanza kisicho dhahiri, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — pengo ambalo bado linaweza kukua bila mwisho.

Mistatili saba na √19

Cooper O’Kuhn na Freeman Slaughter wa Chuo Kikuu cha South Florida walianzia kwenye jambo la ajabu lililojulikana: njia ya kukata mraba kuwa mistatili saba tofauti yenye maeneo sawa kabisa. Kasoro yake ni kwamba pande zake si namba kamili; zinahusisha √19, namba isiyowiana.

Wazo lao ni kubadilisha √19 kwa sehemu p/q zinazoikaribia vizuri zaidi na zaidi. Zana sahihi ni mlinganyo uliochunguzwa sana katika nadharia ya namba, mlinganyo wa Pell: hapa, p² − 19q² lazima ibaki thabiti. Kwa uchaguzi huo, pande zinakuwa namba kamili, na mtawanyiko wa maeneo unategemea tu thamani hiyo thabiti — si ukubwa wa namba zenyewe. Wanaonyesha kwamba kasoro ni sawa kabisa na 140 × |p² − 19q²|.

Mraba wa 315

Kisa kidogo zaidi kinatumia p = 13 na q = 3, ambapo 13² − 19 × 3² = −2. Kinatoa mraba wenye upande wa 315 uliokatwa kuwa:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200 na 112 × 125.

Eneo kubwa zaidi ni 238 × 60 = 14,280; dogo zaidi, 70 × 200 = 14,000. Kasoro ni 280. Maeneo saba yakijumlishwa yanatoa 99,225, ambayo kweli ni 315 × 315.

Milele 280

Kisha ujenzi unajirudia. Urefu wa pande unafuata kanuni rahisi: 315, kisha 106,785, kisha kila upande mpya ni mara 340 ya ule uliotangulia ukitoa ule wa kabla yake — 36,306,585, kisha 12,344,132,115, na kuendelea bila mwisho. Kila mmoja wa miraba hii unaweza kukatwa kuwa mistatili saba tofauti yenye kasoro ya 280 kamili.

Kwa hiyo kasoro ndogo kabisa haiendelei kukua. Kwa maneno ya waandishi, hakuwezi hata kuwa na fomula yoyote inayoelekea kwenye ukomo — ya mstari, ya logariti au nyingine yoyote — inayobaki chini ya M(n) kwa kila mraba mkubwa wa kutosha. Hilo linapindua dhana ambayo wanaieleza kuwa wazi tangu tatizo lilipopendekezwa kwa mara ya kwanza. Toleo la njia hiyohiyo linatoa, kwa namba kamili yoyote k, miraba isiyo na idadi ambayo upande wake unagawanyika kwa k, yenye kasoro isiyozidi 560.

Bado hakuna mraba kamilifu

Tokeo hili halisemi lolote kuhusu miraba iliyo nje ya familia hii, na halikatai ukataji kamilifu. Waandishi hata wanathibitisha kwamba aina hii ya ukataji wa mistatili saba haiwezi kamwe kushuka chini ya 280: kasoro ya sifuri ingelazimika kutoka kwa wazo tofauti kabisa. Wanakisia kwamba 280 ndiyo bora zaidi ambayo mistatili hii saba inaweza kufikia, wanapendekeza kwamba turubai za mstatili huenda zikafanya vizuri zaidi, na wanatarajia “mfululizo wa haraka wa maboresho yanayofuatana”. Kama mraba kamilifu wa Mondrian upo bado ni swali wazi — lakini hoja kwamba hauwezi kuwepo, kwa sababu pengo lazima likue, imetoweka.