TEKA-TEKI MONDRIAN: SELISIH YANG BERHENTI BERTAMBAH

Pelukis Belanda Piet Mondrian paling dikenal lewat karya-karya De Stijl-nya, yang sebagian besar terdiri atas persegi panjang berwarna. Para matematikawan meminjamnya untuk sebuah teka-teki yang tampak sederhana. Ambil kanvas persegi bersisi n. Potong menjadi persegi panjang bersisi bilangan bulat, semuanya sejajar dengan tepi. Satu aturan: tidak boleh ada dua persegi panjang yang bentuknya sama, bahkan setelah salah satunya diputar seperempat putaran — persegi panjang 2 × 3 dan 3 × 2 tidak boleh berada di kanvas yang sama.

Sekarang bandingkan luasnya. Selisih antara yang terbesar dan terkecil adalah cacat (defect). Pertanyaannya, seberapa kecil cacat itu bisa dibuat.

Potongan sempurna yang belum pernah ditemukan

Potongan dengan cacat nol akan menjadi sempurna: semua persegi panjang berbeda bentuk, tetapi luasnya persis sama. Luas yang sama saja tidak cukup; potongan-potongan itu juga harus pas satu sama lain tanpa celah atau tumpang tindih. Tidak ada yang tahu apakah potongan sempurna ada untuk persegi mana pun. Kemungkinannya telah dikesampingkan untuk semua sisi hingga 1.000, dan anggapan umum adalah bahwa potongan semacam itu tidak ada.

Di balik anggapan itu ada anggapan lain yang lebih luas: bahwa cacat terkecil yang mungkin, ditulis M(n), bertambah seiring ukuran persegi. Contoh-contoh yang diketahui, hingga n = 900, tampaknya mendukung hal itu. Dalam sebuah pracetak September 2026, tim lain melaporkan batas atas nontrivial pertama, M(n) ≤ 10 n^(5/6) — selisih yang masih bisa bertambah tanpa batas.

Tujuh persegi panjang dan √19

Cooper O’Kuhn dan Freeman Slaughter dari University of South Florida berangkat dari sebuah keanehan yang sudah dikenal: cara memotong persegi menjadi tujuh persegi panjang berbeda dengan luas yang persis sama. Masalahnya, sisi-sisinya bukan bilangan bulat; sisi-sisi itu melibatkan √19, sebuah bilangan irasional.

Gagasan mereka adalah mengganti √19 dengan pecahan p/q yang mendekatinya makin lama makin baik. Alat yang tepat adalah sebuah persamaan yang banyak dipelajari dalam teori bilangan, persamaan Pell: di sini, p² − 19q² harus tetap. Dengan pilihan itu, sisi-sisinya menjadi bilangan bulat, dan sebaran luasnya hanya bergantung pada nilai tetap tersebut — bukan pada seberapa besar bilangan-bilangannya. Mereka menunjukkan bahwa cacatnya tepat sama dengan 140 × |p² − 19q²|.

Persegi 315

Kasus terkecil memakai p = 13 dan q = 3, yang menghasilkan 13² − 19 × 3² = −2. Ini memberikan persegi bersisi 315 yang dipotong menjadi:

259 × 55, 56 × 255, 238 × 60, 77 × 185, 189 × 75, 70 × 200, dan 112 × 125.

Luas terbesar adalah 238 × 60 = 14.280; yang terkecil, 70 × 200 = 14.000. Cacatnya 280. Jumlah ketujuh luas itu 99.225, yang memang sama dengan 315 × 315.

Selamanya 280

Lalu konstruksinya berulang. Panjang sisi mengikuti aturan sederhana: 315, lalu 106.785, lalu setiap sisi baru adalah 340 kali sisi sebelumnya dikurangi sisi sebelum itu — 36.306.585, lalu 12.344.132.115, dan seterusnya tanpa akhir. Setiap persegi ini dapat dipotong menjadi tujuh persegi panjang berbeda dengan cacat tepat 280.

Jadi cacat minimal tidak terus bertambah. Dalam kata-kata para penulis, bahkan tidak mungkin ada fungsi yang menuju tak hingga — linear, logaritmik, atau apa pun — yang selalu berada di bawah M(n) untuk setiap persegi yang cukup besar. Ini membantah sebuah konjektur yang menurut mereka terbuka sejak masalah ini pertama kali diajukan. Varian dari metode yang sama memberikan, untuk sembarang bilangan bulat k, tak terhingga banyaknya persegi yang sisinya habis dibagi k, dengan cacat paling besar 560.

Masih belum ada persegi sempurna

Hasil ini tidak mengatakan apa pun tentang persegi di luar keluarga tersebut, dan tidak mengesampingkan potongan sempurna. Para penulis bahkan membuktikan bahwa potongan tujuh persegi panjang jenis ini tidak akan pernah bisa di bawah 280: cacat nol harus berasal dari gagasan yang sama sekali berbeda. Mereka menduga bahwa 280 adalah hasil terbaik yang bisa dicapai tujuh persegi panjang ini, mengusulkan bahwa kanvas persegi panjang mungkin bisa lebih baik lagi, dan memperkirakan akan ada “rentetan cepat perbaikan bertahap”. Apakah persegi Mondrian sempurna itu ada masih menjadi pertanyaan terbuka — tetapi argumen bahwa ia tidak mungkin ada, karena selisihnya harus bertambah, sudah gugur.