هرچه دسته بزرگ‌تر، رئیس ضعیف‌تر
وقتی گروهی باید بر سر یک جهت توافق کند، وزن همه یکسان نیست. رهبران و پیروان پدیدار می‌شوند و اثرگذاری بیشتر در یک جهت جریان می‌یابد. معمولاً این چانه‌زنی دور از چشم رخ می‌دهد. اما وقتی جانوران با هم به خانه پرواز می‌کنند، تصمیم‌هایشان ثانیه به ثانیه در ردهایشان نوشته می‌شود.
کبوترهای نامه‌بر بهترین نمونهٔ مطالعه‌شده‌اند. هر پرنده به‌تنهایی مسیر دلخواه خود را دارد. وقتی گروهی رها شوند، ترجیحاتشان با هم برخورد می‌کند و باید در حین پرواز حل‌وفصل شود. پژوهش‌های پیشین با GPS سلسله‌مراتب‌های روشن رهبر–پیرو را در دسته‌های کبوتر یافته بودند و نشان داده بودند که پرواز گروهی بازگشت به خانه را کارآمدتر می‌کند. توضیح کلاسیک خرد جمعی (wisdom of crowds) است: خطاهای همه را با وزن‌های برابر میانگین بگیرید تا خطاها یکدیگر را خنثی کنند. اما پژوهشی پیشین از تی. ساساکی (T. Sasaki) و همکارانش دریافته بود که این ایدهٔ میانگین‌گیری، معروف به «خطاهای بسیار» (many wrongs)، با مسیرهایی که دسته‌ها واقعاً طی می‌کنند جور درنمی‌آید.
خواندن تصمیم‌ها از روی ردها
بیباسوان گوش (Bibaswan Ghosh)، ویپول رای (Vipul Rai)، هارش سونی (Harsh Soni) و نیتین کومار (Nitin Kumar) از مؤسسهٔ فناوری هند در بمبئی (IIT Bombay) و IIT Mandi روشی ساختند تا سلسله‌مراتب را تنها از روی مسیرهای پرواز بسنجند. آن‌ها دستهٔ در حال پرواز را مانند یک ذرهٔ فعال (active particle) در نظر می‌گیرند: با سرعت ثابت حرکت می‌کند، جهتش به‌طور تصادفی می‌لرزد، و هر وقت زاویه تا خانه بیش از حد بزرگ شود، پرنده مسیرش را اصلاح می‌کند. این زاویهٔ بیشینه، ϕm، نشان می‌دهد پرندگان چه اندازه خطای ناوبری را تحمل می‌کنند.
آن‌ها این روش را روی داده‌های ساساکی به کار بردند: 30 کبوتر که در فاصلهٔ 8.1 کیلومتری لانه‌شان، در گروه‌های تصادفاً آمیختهٔ 1، 2، 4 و 8 تایی رها شدند. با بزرگ‌تر شدن گروه‌ها، ردها صاف‌تر شدند. در مدل، تصادفی بودن پرواز یکسان ماند؛ آنچه تغییر کرد تحمل بود — با بزرگ‌تر شدن دسته ϕm کوچک‌تر شد. دسته‌های بزرگ‌تر بهتر پرواز می‌کنند چون خطای کمتری را تاب می‌آورند.
رأی‌های برابر شکست می‌خورند
سپس گروه کبوترهایی را شبیه‌سازی کرد که با هم «حرف می‌زنند». هر پرندهٔ مجازی وقتی بیش از 74 درجه منحرف شود مسیر خود را اصلاح می‌کند (آستانه‌ای جداگانه، گشادتر از رواداری 54 درجه‌ای که برای یک کبوتر تنها اندازه‌گیری شده است)؛ هر اصلاح علامتی برای دیگران می‌فرستد که ممکن است آن‌ها هم به سوی خانه بچرخند.
- اگر همه همیشه از همه پیروی کنند — دسته‌ای برابری‌خواه (egalitarian)، هم‌ارز خرد جمعی — دسته‌های شبیه‌سازی‌شده بیش از حد منضبط می‌شوند: مخروط تحملشان بسیار باریک‌تر از دسته‌های واقعی است.
- اگر اثرگذاری رتبه‌بندی‌شده باشد — هرچه رتبهٔ یک پرنده پایین‌تر باشد، دیگران کمتر از اصلاح‌های او پیروی می‌کنند، با آهنگی که یک شاخص سلسله‌مراتب η تعیین می‌کند (0 یعنی همهٔ پرندگان به یک اندازه به حساب می‌آیند؛ هرچه η بزرگ‌تر باشد، یک رهبر تنها بیشتر چیره است) — شبیه‌سازی‌ها با دسته‌های واقعی جور درمی‌آیند. و η متناظر با بزرگ‌تر شدن دسته کاهش می‌یابد: گروه‌های کوچک به‌شدت سلسله‌مراتبی‌اند و گروه‌های بزرگ‌تر روزبه‌روز برابری‌خواه‌تر.
یک‌چهارم ثانیه
مدل زمخت است: اصلاح‌ها آنی رخ می‌دهند. پرندگان واقعی برای واکنش به زمان نیاز دارند. پس گروه سلسله‌مراتب را با چیزی دقیق‌تر سنجید — اینکه چه کسی اول می‌چرخد. با مقایسهٔ جهت هر جفت پرنده، به هر کبوتر یک تأخیر میانگین نسبت داده می‌شود: مثبت اگر معمولاً چرخش را آغاز کند، منفی اگر معمولاً پیروی کند.
این تأخیرها میان حدود مثبت و منفی 0.25 ثانیه می‌مانند، که به‌طرز چشمگیری به زمان‌های واکنش کبوتر که در پژوهش‌های دیگر سنجیده شده نزدیک است. فرمولی ساده که تأخیر را به رتبه پیوند می‌دهد و از مقادیر η شبیه‌سازی استفاده می‌کند، با دسته‌های 2، 4 و 8 تایی جور درمی‌آید. همچنین با یک مجموعه‌دادهٔ مستقل — دسته‌ای 9 تایی از کبوترها که ام. ناگی (M. Nagy) و همکارانش بررسی کرده بودند — با شاخص سلسله‌مراتبی باز هم کوچک‌تر، همان‌گونه که روند پیش‌بینی می‌کند، سازگار است.
بهای دنباله‌رو داشتن
چرا سلسله‌مراتب در گروه‌های بزرگ‌تر کم‌رنگ می‌شود؟ نویسندگان به ترمودینامیک روی می‌آورند. وقتی اثرگذاری یک‌سویه است، توالی رویدادها اگر وارونه پخش شود متفاوت به نظر می‌رسد — مثل فیلمی که می‌توان فهمید وارونه پخش می‌شود. فیزیک‌دانان این برگشت‌ناپذیری (irreversibility) را به‌صورت آهنگ تولید آنتروپی (entropy production) می‌سنجند. اینجا این یک هزینهٔ اطلاعاتیِ ارتباط یک‌سویه است؛ وقتی همه به‌طور برابر بر همه اثر بگذارند، صفر می‌شود.
محاسبهٔ آن‌ها نشان می‌دهد که این هزینه، به ازای هر پرنده، با اندازهٔ دسته و سلسله‌مراتب بسیار سریع بالا می‌رود — در ساده‌ترین حد، متناسب با مکعب تعداد پرندگان. اگر هر کبوتر تنها بتواند مقدار ثابتی «خرج» کند، سلسله‌مراتب باید با بزرگ‌تر شدن دسته ضعیف شود. گروه با فرض هزینه‌ای ثابت برای هر پرنده، کاهش η برآمده از پروازها را به‌خوبی بازتولید می‌کند.
نویسندگان این را توجیهی پذیرفتنی می‌نامند، نه اثبات، و مدلشان فرض می‌کند هر جفت پرنده می‌توانند در هر دو جهت بر هم اثر بگذارند، که ممکن است در دسته‌های بزرگ صادق نباشد. آن‌ها پیشنهاد می‌کنند این ایده شاید توضیح دهد چرا هر سار در یک دسته تنها شش یا هفت همسایه را دنبال می‌کند، و اینکه ربات‌های برنامه‌پذیر می‌توانند این ایده را بیازمایند.