鸽群越大，头领越弱

当一个群体必须在方向上达成一致时，并非每个成员的分量都相同。头领和追随者会出现，影响主要朝一个方向流动。通常，这种协商发生在人们看不见的地方。但当动物一起飞回家时，它们的决定就一秒一秒地写进了飞行轨迹里。

信鸽是研究得最透彻的例子。单独飞行时，每只鸟都有自己偏爱的路线。成群放飞时，它们的偏好会发生冲突，必须在飞行中解决。早先的GPS研究在鸽群中发现了清晰的头领—追随者等级，并表明结伴飞行会让归巢更高效。经典的解释是群体智慧：把每个成员的误差以相同的权重加以平均，误差就会相互抵消。但佐佐木（T. Sasaki）及其同事此前的一项研究发现，这种取平均的观点，即所谓的“多错原则”（many wrongs），与鸽群实际所走的路线并不相符。

从轨迹中读出决策

孟买印度理工学院和曼迪印度理工学院的比巴斯万·戈什（Bibaswan Ghosh）、维普尔·拉伊（Vipul Rai）、哈什·索尼（Harsh Soni）和尼廷·库马尔（Nitin Kumar）建立了一种仅凭飞行轨迹来衡量等级的方法。他们把飞行中的鸽群当作一个活性粒子（active particle）：它以恒定速度运动，航向随机抖动，每当与回家方向的夹角过大时，鸟就会修正航线。这个最大角度ϕm衡量了鸟儿们对导航误差的容忍程度。

他们把这一方法应用于佐佐木的数据：30只鸽子，在离鸽舍8.1公里处放飞，随机混编成1、2、4和8只的群组。随着群组变大，轨迹变得更直。在模型中，飞行的随机性保持不变；变化的是容忍度——ϕm随鸽群变大而缩小。更大的鸽群飞得更好，是因为它们能容忍的误差更小。

平等投票行不通

接下来，团队模拟了相互交流的鸽子。每只虚拟鸟在偏离超过74度时修正自己的航线（这是一个单独的触发阈值，比单只鸽子测得的54°容差更宽）；每次修正都会向其他鸟发出信号，其他鸟随后也可能转向家的方向。

• 如果每只鸟总是跟随所有其他鸟——一个平等主义鸽群，相当于群体智慧——模拟的鸽群就会变得过于守纪律：它们的容忍锥比真实鸽群窄得多。
• 如果影响是分等级的——一只鸟的等级越低，其他鸟跟随它的修正就越少，递减的程度由一个等级指数η决定（0表示每只鸟分量相同；η越大，单个头领越占主导）——那么模拟就与真实鸽群相吻合。而且相吻合的η随鸽群变大而下降：小群组等级分明，较大的群组则越来越平等。

四分之一秒

这个模型比较粗糙：修正是瞬间发生的。真实的鸟需要时间做出反应。于是团队用更精细的东西来检验等级——谁先转弯。通过比较每一对鸟的航向，每只鸽子都得到一个平均延迟：如果它倾向于发起转弯，则为正；如果倾向于跟随，则为负。

这些延迟保持在约正负0.25秒之间，与其他研究中测得的鸽子反应时间惊人地接近。一个把延迟与等级联系起来的简单公式，使用模拟得出的η值，可以拟合由2、4和8只鸟组成的鸽群。它还能拟合一个独立的数据集——纳吉（M. Nagy）及其同事研究的一个由9只鸽子组成的鸽群——其等级指数更小，正如这一趋势所预测的那样。

被追随的代价

为什么等级会在较大的群体中淡化？作者求助于热力学。当影响单向流动时，事件序列倒放起来看着就不一样——就像一部你能看出是在倒放的电影。物理学家把这种不可逆性作为熵产生的速率来衡量。在这里，它是单向沟通的一种信息代价；当每个成员对彼此的影响都相等时，它就消失了。

他们的计算表明，这一代价平摊到每只鸟上，会随鸽群规模和等级程度急剧攀升——在最简单的极限情形下，与鸟的数量的立方成正比。如果每只鸽子只能“花费”固定的数额，那么随着鸽群变大，等级就必须减弱。假设每只鸟的代价恒定，团队就能较好地再现从飞行轨迹推断出的η下降。

作者称之为一种合理的解释，而非证明；而且他们的模型假设每一对鸟都能相互双向影响，这在大鸽群中未必成立。他们提出，这或许也能解释为什么鸟群中的每只椋鸟只追踪六七个邻居，并且可编程机器人可以用来检验这一设想。