थवा जितका मोठा, म्होरक्या तितका दुबळा

एखाद्या गटाला दिशेवर एकमत करायचे असते, तेव्हा प्रत्येकाचे वजन सारखे नसते. म्होरके आणि अनुयायी तयार होतात, आणि प्रभाव बहुतांश एकाच दिशेने वाहतो. सहसा ही वाटाघाट नजरेआड घडते. पण प्राणी एकत्र उडत घरी परततात, तेव्हा त्यांचे निर्णय त्यांच्या मागांवर, सेकंदागणिक, लिहिले जातात.

घरपरत कबुतरे (homing pigeons) हे सर्वाधिक अभ्यासलेले उदाहरण आहे. एकटे असताना प्रत्येक पक्ष्याचा आपला आवडता मार्ग असतो. गटाने सोडल्यावर त्यांच्या पसंती एकमेकांशी टकरातात आणि उड्डाणातच निकाली काढाव्या लागतात. आधीच्या GPS अभ्यासांना कबुतरांच्या थव्यांमध्ये स्पष्ट म्होरके–अनुयायी उतरंड आढळली, आणि त्यांनी दाखवले की एकत्र उडल्याने घरी परतणे अधिक कार्यक्षम होते. पारंपरिक स्पष्टीकरण म्हणजे गर्दीचे शहाणपण (wisdom of crowds): प्रत्येकाच्या चुकांची समान वजनाने सरासरी काढा, आणि चुका एकमेकांना रद्द करतात. पण T. Sasaki आणि सहकाऱ्यांच्या एका आधीच्या अभ्यासाला आढळले की सरासरीची ही कल्पना, जिला “अनेक चुका” (many wrongs) म्हणतात, थवे प्रत्यक्षात घेत असलेल्या मार्गांशी जुळत नाही.

मागांवरून निर्णय वाचणे

भारतीय तंत्रज्ञान संस्था मुंबई आणि IIT मंडी येथील Bibaswan Ghosh, Vipul Rai, Harsh Soni आणि Nitin Kumar यांनी केवळ उड्डाण-मार्गांवरून उतरंड मोजण्याची एक पद्धत तयार केली. ते उडणाऱ्या थव्याला एका सक्रिय कणाप्रमाणे (active particle) मानतात: तो स्थिर वेगाने जातो, त्याची दिशा यादृच्छिकपणे थरथरते, आणि घराकडील कोन फार मोठा झाला की पक्षी मार्ग सुधारतो. तो कमाल कोन, ϕm, पक्षी दिशादर्शनातील किती चूक सहन करतात हे मोजतो.

त्यांनी ही पद्धत Sasaki यांच्या माहितीवर लावली: 30 कबुतरे, खुराड्यापासून 8.1 किलोमीटरवर, 1, 2, 4 आणि 8 च्या यादृच्छिकपणे मिसळलेल्या गटांत सोडलेली. गट मोठे होत गेले तसे मार्ग अधिक सरळ झाले. मॉडेलमध्ये उड्डाणातील यादृच्छिकता तशीच राहिली; बदलली ती सहनशीलता — थवा मोठा होत गेला तसा ϕm लहान झाला. मोठे थवे अधिक चांगले उडतात कारण ते कमी चूक सहन करतात.

समान मते अपयशी ठरतात

मग गटाने एकमेकांशी संवाद साधणाऱ्या कबुतरांचे सिम्युलेशन केले. प्रत्येक आभासी पक्षी 74 अंशांपेक्षा जास्त भरकटला की आपला मार्ग सुधारतो (हा एक वेगळा उंबरठा आहे, एकट्या कबुतरासाठी मोजलेल्या 54° सहनशीलतेपेक्षा अधिक रुंद); प्रत्येक सुधारणा इतरांना एक संकेत पाठवते, आणि मग तेही घराकडे वळू शकतात.

• प्रत्येकजण नेहमीच प्रत्येकाचे अनुसरण करत असेल — म्हणजे गर्दीच्या शहाणपणाशी समतुल्य असा समतावादी थवा — तर सिम्युलेट केलेले थवे फारच शिस्तबद्ध होतात: त्यांचा सहनशीलतेचा शंकू खऱ्या थव्यांपेक्षा खूपच अरुंद असतो.
• प्रभाव क्रमवार असेल — पक्ष्याचा क्रम जितका खालचा, तितक्या कमी वेळा इतर पक्षी त्याच्या सुधारणांचे अनुसरण करतात, आणि हे प्रमाण उतरंड-निर्देशांक η ठरवतो (0 म्हणजे प्रत्येक पक्ष्याला समान महत्त्व; η जितका मोठा, तितका एकच म्होरक्या जास्त वर्चस्व गाजवतो) — तर सिम्युलेशन खऱ्या थव्यांशी जुळतात. आणि जुळणारा η थवा वाढतो तसा घटतो: लहान गट तीव्र उतरंडीचे असतात, मोठे गट अधिकाधिक समतावादी.

पाव सेकंद

मॉडेल ढोबळ आहे: सुधारणा तात्काळ होतात. खऱ्या पक्ष्यांना प्रतिक्रिया द्यायला वेळ लागतो. म्हणून गटाने उतरंड एका अधिक बारीक गोष्टीशी ताडून पाहिली — आधी कोण वळतो. पक्ष्यांच्या प्रत्येक जोडीच्या दिशांची तुलना करून प्रत्येक कबुतराला एक सरासरी विलंब मिळतो: वळणे सुरू करण्याची प्रवृत्ती असेल तर धन, अनुसरण करण्याची प्रवृत्ती असेल तर ऋण.

हे विलंब साधारण अधिक-उणे 0.25 सेकंदांच्या दरम्यान राहतात, इतर अभ्यासांत मोजलेल्या कबुतरांच्या प्रतिक्रिया-वेळांच्या उल्लेखनीयरीत्या जवळ. सिम्युलेशनमधील η मूल्ये वापरून विलंबाचा क्रमाशी संबंध जोडणारे एक साधे सूत्र 2, 4 आणि 8 च्या थव्यांशी जुळते. ते एका स्वतंत्र माहिती-संचाशीही जुळते — M. Nagy आणि सहकाऱ्यांनी अभ्यासलेला 9 कबुतरांचा थवा — ज्याचा उतरंड-निर्देशांक, प्रवृत्तीने भाकीत केल्याप्रमाणे, आणखीनच लहान आहे.

अनुसरले जाण्याची किंमत

मोठ्या गटांमध्ये उतरंड क्षीण का व्हावी? लेखक ऊष्मागतिकीकडे वळतात. प्रभाव एकाच दिशेने वाहतो, तेव्हा घटनांचा क्रम उलटा चालवला तर वेगळा दिसतो — उलटा चालवला आहे हे ओळखता येणाऱ्या चित्रपटासारखा. भौतिकशास्त्रज्ञ ही अपरिवर्तनीयता (irreversibility) एन्ट्रॉपी-निर्मितीच्या दराने मोजतात. इथे ती एकमार्गी संवादाची माहितीविषयक किंमत आहे; प्रत्येकजण प्रत्येकावर समान प्रभाव टाकतो तेव्हा ती नाहीशी होते.

त्यांचे गणित दाखवते की ही प्रति-पक्षी किंमत थव्याच्या आकारासोबत आणि उतरंडीसोबत फार वेगाने वाढते — सर्वांत साध्या मर्यादेत, पक्ष्यांच्या संख्येच्या घनाप्रमाणे. प्रत्येक कबुतर केवळ ठरावीक रक्कमच “खर्च” करू शकत असेल, तर थवा वाढतो तशी उतरंड दुबळी व्हायलाच हवी. प्रति-पक्षी किंमत स्थिर गृहीत धरून, गट उड्डाणांवरून काढलेली η मधील घट बऱ्यापैकी पुनर्निर्मित करतो.

लेखक याला सिद्धता नव्हे, तर एक पटण्याजोगे कारण म्हणतात, आणि त्यांचे मॉडेल असे गृहीत धरते की पक्ष्यांची प्रत्येक जोडी दोन्ही दिशांनी एकमेकांवर प्रभाव टाकू शकते, जे मोठ्या थव्यांत खरे नसू शकते. ते सुचवतात की थव्यातील प्रत्येक स्टार्लिंग पक्षी केवळ सहा-सात शेजाऱ्यांचाच मागोवा का घेतो हेही यावरून स्पष्ट होऊ शकेल, आणि प्रोग्राम करता येणारे यंत्रमानव ही कल्पना कसोटीला लावू शकतील.