维也纳发现薛定谔未发表的隐变量模型

抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是百分之五十。在经典物理学中，这种概率只反映了我们的无知：抛掷的力度、空气阻力等因素决定了结果，只要掌握了所有这些因素，抛硬币就是可以预测的。量子力学则不同。它的形式体系通常只预测概率。从一开始，就有物理学家怀疑它是否不完备——是否存在额外的隐变量，能在底层恢复一幅决定论的图景。

1932年，约翰·冯·诺伊曼发表了一个被普遍视为证明这不可能的结果。格雷特·赫尔曼（Grete Hermann）早在1935年就发现了该证明在普遍性上的问题，但她的批评几乎无人注意。直到戴维·玻姆1952年提出决定论的隐变量理论、约翰·贝尔1966年发表批评之后，这一证明的局限才得到广泛承认。据日内瓦大学和不来梅建构者大学（Constructor University）的弗拉维奥·德尔桑托（Flavio Del Santo）说，在此期间，对隐变量模型的探索基本上销声匿迹了十多年。

一个无法“知道”的光子

这个问题在战争正酣时重新浮现。1943年5月18日，数学家兼物理学家埃德蒙·泰勒·惠特克（Edmund Taylor Whittaker）在伦敦发表演讲，宣称量子力学打破了“必然性的枷锁”。1944年1月3日，萨特延德拉·纳特·玻色在德里说了几乎同样的话：“五十年前，人们对因果性和决定性的信念是绝对的。今天，物理学家获得了知识，却失去了信仰。”

惠特克还给出了一个简单的论证。一个偏振光子以cos²φ的概率通过偏振片，其中φ是光子偏振方向与偏振片之间的夹角：这就是马吕斯定律。假设每个光子携带一个隐藏的比特，0代表“通过”，1代表“被挡住”。对于N个光子，必须有N cos²φ个携带0。但你可以在光子已经在飞行途中时转动偏振片。它们的比特无法改变，所以通过的比例也不会改变——可马吕斯定律说它必须改变。惠特克由此得出结论：隐变量是不可能的。

十一篇回应，以及第十二篇

这个论证在《自然》杂志上引发了一场争论：大约一年内出现了十一篇文章，其中十篇发表在该杂志上，一篇发表在《物理学会会刊》上。实验物理学家吉尔伯特·韦斯特（Gilbert West）反驳道：“有许多人深知假设是多么容易潜伏在分析工作中，他们拒绝被数学当头一棒打服。”接着他指出了关键所在：惠特克只证明了，如果所有隐藏参数都属于光子，因果性就会失效；而偏振片的晶体也有自己的参数。数学家亨利·皮亚焦（Henry Piaggio）在1945年3月以休战结束了这场交锋，他引用伯特兰·罗素的话说：没有决定性的理由支持完全的决定论，但也没有理由反对它。

直到现在，没有人知道还存在第十二篇回应。它以一份未注明日期、题为《决定论的崩溃》（Collapse of Determinism）的手写草稿形式，保存在维也纳大学奥地利中央物理图书馆的埃尔温·薛定谔档案中。草稿提到了这场争论直到1944年11月25日的一封信，因此它写于那之后。德尔桑托首次发表了它的完整转录和分析。

挽救决定论的寥寥数行

“我也曾对这个结论感到困惑，”薛定谔写道，“因为推导出的荒谬结果，显然是由只有两个离散参数值这一简化假设造成的。”

他的修正方案是：给每个光子一个介于0和1之间、均匀分布的隐藏实数λ，当λ ≥ sin²φ时让光子通过。这样通过的光子比例恰好是cos²φ——正是马吕斯定律，而每一个结果都由光子的数值和偏振片的角度预先确定。为了处理第二个偏振片，薛定谔加入了一条决定论的更新规则：透射光子的数值变为λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ，这使幸存的光子再次均匀分布在0到1之间。德尔桑托证明，此时角度为φ′的第二个偏振片会让其中cos²(φ′ − φ)的比例通过，与量子力学的预测一致。薛定谔还给出了反射光子的规则：“我看不出假设这些变化有什么不一致之处。”

德尔桑托还补充了一点，这一点似乎被争论中的所有人——包括惠特克和薛定谔——忽略了：一个比特不够用，这件事并没有什么量子特有的地方。如果你能在硬币还在空中时移动地板，硬币同样需要不止一个比特。

一个并非决定论者的“决定论者”

手稿的其余部分转向了哲学。“实验证据加上逻辑推理，永远无法证明决定论或非决定论观点中的任何一方是不可能的，”薛定谔写道，而且“支持非决定论最有力的理由比量子力学还要古老。”

因此在德尔桑托看来，这个模型是一个原理性证明，而不是立场的转变。自20世纪20年代初起，在弗朗茨·埃克斯纳（Franz Exner）的影响下，薛定谔就一直认为“自然规律具有彻底的统计性质”，并称决定论是一种“哲学偏见”。

他为什么始终没有寄出？海因里希·佩尔策（Heinrich Pelzer）已于1944年5月发表了对惠特克的隐变量回应，并在1945年1月的《自然》争论中被引用。他在校样阶段补充的一则简短附注中给出的定量版本，对于单个偏振片而言与薛定谔的版本等价，尽管没有针对每个光子的显式更新规则。德尔桑托推测，薛定谔得知此事后，或许认为这一点已经有人讲过了。

论文还讲述了此后的历史。玻姆在1952年复兴了隐变量；1964年，贝尔证明定域隐变量模型会给出可检验的预测，此后的实验已经排除了这一类模型。爱因斯坦、薛定谔和玻姆——这三个最常被塑造为决定论捍卫者的名字——都曾在某个时候构建过这样的模型。德尔桑托认为，他们之中没有一个人是单纯的决定论者。