مدل منتشرنشدهٔ متغیرهای پنهان شرودینگر، یافته‌شده در وین

وقتی سکهٔ سالمی را می‌اندازید، پنجاه درصد احتمال دارد شیر بیاید. در فیزیک کلاسیک، این احتمال تنها بازتاب ناآگاهی است: نیروی پرتاب، مقاومت هوا و مانند آن نتیجه را تعیین می‌کنند و اگر همهٔ آن‌ها را در دست داشتیم، پرتاب پیش‌بینی‌پذیر می‌شد. مکانیک کوانتومی فرق دارد. صورت‌بندی آن معمولاً تنها احتمال‌ها را پیش‌بینی می‌کند. از همان آغاز، برخی فیزیک‌دانان از خود پرسیدند که آیا این نظریه ناقص است — آیا متغیرهای پنهان (hidden variables) اضافی می‌توانند تصویری جبرگرایانه را در زیر آن بازگردانند.

در 1932، جان فون نویمان چیزی منتشر کرد که به‌طور گسترده اثباتی بر ناممکن بودن این کار تلقی شد. گرته هرمان (Grete Hermann) از همان 1935 مشکلاتی در کلیت آن یافت، اما نقد او تقریباً نادیده ماند. محدودیت‌های این اثبات تنها پس از نظریهٔ جبرگرایانهٔ متغیرهای پنهان دیوید بوهم در 1952 و نقد جان بل در 1966 به‌طور گسترده پذیرفته شد. به گفتهٔ فلاویو دل سانتو (Flavio Del Santo) از دانشگاه ژنو و دانشگاه کانستراکتور در برمن، در این فاصله جست‌وجوی مدل‌های متغیر پنهان بیش از یک دهه عملاً از میان رفته بود.

فوتونی که نمی‌تواند بداند

پرسش در میانهٔ جنگ بازگشت. در 18 مه 1943، ریاضی‌دان و فیزیک‌دان ادموند تیلور ویتاکر (Edmund Taylor Whittaker) در لندن سخنرانی‌ای کرد و مدعی شد که مکانیک کوانتومی «بندهای ضرورت» را گسسته است. در 3 ژانویهٔ 1944، ساتیندرا نات بوز در دهلی تقریباً همین را گفت: «پنجاه سال پیش باور به علیت و تعین مطلق بود. امروز فیزیک‌دانان دانش به دست آورده‌اند اما ایمانشان را از دست داده‌اند.»

ویتاکر استدلالی ساده افزود. فوتونی قطبیده با احتمال cos²φ از یک قطبنده می‌گذرد، که φ زاویهٔ میان قطبش آن و قطبنده است: این قانون مالوس است. فرض کنید هر فوتون یک بیت پنهان با خود دارد، 0 برای «گذر» و 1 برای «مسدود». از N فوتون، N cos²φ تا باید 0 داشته باشند. اما می‌توانید قطبنده را وقتی فوتون‌ها در راه‌اند بچرخانید. بیت‌هایشان نمی‌تواند تغییر کند، پس کسری که می‌گذرد هم نمی‌تواند تغییر کند — حال آنکه قانون مالوس می‌گوید باید تغییر کند. ویتاکر نتیجه گرفت که متغیرهای پنهان ناممکن‌اند.

یازده پاسخ، و یک دوازدهمی

این استدلال بحثی را در Nature به راه انداخت: یازده نوشته در حدود یک سال، ده تا در همان مجله و یکی در Proceedings of the Physical Society. گیلبرت وست (Gilbert West)، فیزیک‌دان تجربی، اعتراض کرد که «بسیاری هستند که چون می‌دانند فرض‌ها چه آسان در کار تحلیلی کمین می‌کنند، از اینکه با ریاضیات سرکوب شوند سر باز می‌زنند.» سپس نکتهٔ کلیدی را گفت: ویتاکر تنها نشان داده بود که اگر همهٔ پارامترهای پنهان متعلق به فوتون باشند، علیت شکست می‌خورد؛ بلور قطبنده پارامترهای خودش را دارد. هنری پیاجو (Henry Piaggio)، ریاضی‌دان، در مارس 1945 با نقل قولی از برتراند راسل بحث را با آتش‌بس بست: هیچ دلیل قاطعی برای جبرگرایی کامل نیست، اما دلیلی علیه آن هم نیست.

آنچه تا کنون کسی نمی‌دانست این است که پاسخ دوازدهمی هم وجود داشت. این پاسخ به صورت پیش‌نویسی دست‌نویس و بی‌تاریخ با عنوان «Collapse of Determinism» (فروپاشی جبرگرایی) در بایگانی اروین شرودینگر در کتابخانهٔ مرکزی فیزیک اتریش، در دانشگاه وین، باقی مانده است. در آن تا نامه‌ای به تاریخ 25 نوامبر 1944 به بحث اشاره می‌شود، پس پس از آن نوشته شده است. دل سانتو نخستین رونویسی کامل و تحلیل آن را منتشر می‌کند.

چند سطر که جبرگرایی را نجات می‌دهد

شرودینگر نوشت: «من هم از این نتیجه گیج شده بودم. زیرا آن یاوه‌ای که استخراج شده، آشکارا از فرض ساده‌کنندهٔ تنها دو مقدار گسستهٔ پارامتر ناشی می‌شود.»

راه‌حل او: به هر فوتون یک عدد حقیقی پنهان λ میان 0 و 1، با توزیع یکنواخت، بدهید و بگذارید فوتون وقتی λ ≥ sin²φ است بگذرد. آنگاه سهم فوتون‌هایی که می‌گذرند دقیقاً cos²φ است — قانون مالوس، در حالی که هر نتیجه از پیش با عدد فوتون و زاویهٔ قطبنده تعیین شده است. برای قطبندهٔ دوم، شرودینگر یک به‌روزرسانی جبرگرایانه افزود: عدد فوتونِ گذرکرده به λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ تبدیل می‌شود که بازماندگان را دوباره به‌طور یکنواخت روی 0 تا 1 پخش می‌کند. دل سانتو نشان می‌دهد که آنگاه قطبندهٔ دومی با زاویهٔ φ′ کسر cos²(φ′ − φ) از آن‌ها را عبور می‌دهد، درست همان‌طور که مکانیک کوانتومی پیش‌بینی می‌کند. شرودینگر قاعدهٔ فوتون‌های بازتابیده را هم داد: «در فرض این تغییرات هیچ ناسازگاری‌ای نمی‌بینم.»

دل سانتو نکته‌ای می‌افزاید که گویا از چشم همهٔ شرکت‌کنندگان در بحث، از جمله ویتاکر و شرودینگر، دور مانده است: هیچ چیز ویژهٔ کوانتومی در ناکافی بودن یک بیت نیست. اگر بتوانید کف زمین را وقتی سکه در هواست جابه‌جا کنید، سکه هم به بیش از یک بیت نیاز دارد.

جبرگرایی که جبرگرا نبود

بقیهٔ دست‌نوشته به فلسفه می‌پردازد. شرودینگر نوشت: «شواهد تجربی + استنتاج منطقی هرگز نمی‌توانند ثابت کنند که دیدگاه جبرگرایانه یا غیرجبرگرایانه ناممکن است»، و «قوی‌ترین دفاع از غیرجبرگرایی از مکانیک کوانتومی قدیمی‌تر است.»

از نظر دل سانتو، این مدل بنابراین یک اثبات اصولی (proof of principle) است، نه تغییر عقیده. شرودینگر از اوایل دههٔ 1920، تحت تأثیر فرانتس اکسنر، بر این باور بود که «قوانین طبیعت سراسر خصلتی آماری دارند» و جبرگرایی را «پیش‌داوری فلسفی» می‌خواند.

چرا هرگز آن را نفرستاد؟ هاینریش پلتسر (Heinrich Pelzer) در مه 1944 پاسخ‌هایی مبتنی بر متغیرهای پنهان به ویتاکر منتشر کرده بود که در ژانویهٔ 1945 در بحث Nature به آن‌ها ارجاع داده شد. نسخهٔ کمّی او، در یادداشتی کوتاه که هنگام تصحیح نمونهٔ چاپی افزوده شد، برای یک قطبنده با نسخهٔ شرودینگر هم‌ارز است، هرچند بدون قاعدهٔ به‌روزرسانی صریح برای هر فوتون. دل سانتو گمان می‌کند که شرودینگر پس از آگاهی از آن، شاید نتیجه گرفته بود که حرف پیش‌تر زده شده است.

تاریخ پس از آن هم در مقاله آمده است. بوهم در 1952 متغیرهای پنهان را زنده کرد؛ در 1964 بل نشان داد که مدل‌های متغیر پنهان موضعی (local) پیش‌بینی‌های آزمون‌پذیر دارند، و آزمایش‌ها از آن زمان این دسته را رد کرده‌اند. اینشتین، شرودینگر و بوهم — سه نامی که بیش از همه به‌عنوان قهرمانان جبرگرایی معرفی می‌شوند — همگی زمانی چنین مدل‌هایی ساختند. به استدلال دل سانتو، هیچ‌یک از آن‌ها صرفاً جبرگرا نبود.