শ্রোডিঙ্গারের অপ্রকাশিত গুপ্ত-চলরাশি মডেল, ভিয়েনায় পাওয়া গেল

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ছুড়লে হেড পড়ার সম্ভাবনা পঞ্চাশ শতাংশ। চিরায়ত পদার্থবিদ্যায় এই সম্ভাবনা শুধু অজ্ঞতারই প্রতিফলন: ছোড়ার জোর, বাতাসের বাধা ইত্যাদি ফল নির্ধারণ করে, আর সবগুলো হাতে থাকলে ছোড়াটি অনুমেয় হতো। কোয়ান্টাম বলবিদ্যা আলাদা। এর গাণিতিক কাঠামো সাধারণত শুধু সম্ভাবনারই পূর্বাভাস দেয়। শুরু থেকেই কিছু পদার্থবিদ ভেবেছেন এটি অসম্পূর্ণ কি না — বাড়তি, গুপ্ত চলরাশি (hidden variables) নিচের স্তরে একটি নির্ধারণবাদী চিত্র ফিরিয়ে আনতে পারে কি না।

1932 সালে জন ফন নয়মান এমন একটি ফল প্রকাশ করেন, যাকে ব্যাপকভাবে এর অসম্ভাব্যতার প্রমাণ বলে ধরা হয়েছিল। গ্রেটে হেরমান (Grete Hermann) 1935 সালেই এর সার্বিকতায় সমস্যা ধরেছিলেন, কিন্তু তাঁর সমালোচনা প্রায় কারও চোখে পড়েনি। প্রমাণটির সীমাবদ্ধতা ব্যাপকভাবে স্বীকৃত হয় কেবল ডেভিড বোমের 1952 সালের নির্ধারণবাদী গুপ্ত-চলরাশি তত্ত্ব এবং জন বেলের 1966 সালের সমালোচনার পরে। জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয় ও ব্রেমেনের কনস্ট্রাক্টর ইউনিভার্সিটির ফ্লাভিও দেল সান্তোর (Flavio Del Santo) মতে, এর মাঝের সময়ে গুপ্ত-চলরাশি মডেলের অনুসন্ধান এক দশকেরও বেশি কার্যত হারিয়ে গিয়েছিল।

যে ফোটন জানতে পারে না

যুদ্ধের মাঝখানে প্রশ্নটি ফিরে এল। 1943 সালের 18 মে গণিতবিদ ও পদার্থবিদ এডমন্ড টেলর হুইটেকার (Edmund Taylor Whittaker) লন্ডনে একটি বক্তৃতায় দাবি করেন যে কোয়ান্টাম বলবিদ্যা “অনিবার্যতার বন্ধন” ভেঙে দিয়েছে। 1944 সালের 3 জানুয়ারি সত্যেন্দ্রনাথ বসু দিল্লিতে প্রায় একই কথা বলেন: “পঞ্চাশ বছর আগে কার্যকারণ ও নির্ধারণে বিশ্বাস ছিল পরম। আজ পদার্থবিদেরা জ্ঞান অর্জন করেছেন কিন্তু তাঁদের বিশ্বাস হারিয়েছেন।”

হুইটেকার একটি সরল যুক্তি যোগ করেন। একটি সমবর্তিত ফোটন cos²φ সম্ভাবনায় একটি পোলারাইজার পেরোয়, যেখানে φ হলো তার সমবর্তন ও পোলারাইজারের মধ্যকার কোণ: এটি ম্যালাসের সূত্র। ধরা যাক প্রতিটি ফোটন একটি গুপ্ত বিট বহন করে, “পেরোবে”-র জন্য 0 আর “আটকাবে”-র জন্য 1। N ফোটনের মধ্যে N cos²φ-টির কাছে 0 থাকতে হবে। কিন্তু ফোটনগুলো ইতিমধ্যে উড়ন্ত অবস্থায় থাকতেই আপনি পোলারাইজার ঘোরাতে পারেন। তাদের বিট বদলাতে পারে না, তাই যে ভগ্নাংশ পেরোয় তাও বদলাতে পারে না — অথচ ম্যালাসের সূত্র বলে তাকে বদলাতেই হবে। হুইটেকারের সিদ্ধান্ত: গুপ্ত চলরাশি অসম্ভব।

এগারোটি জবাব, আর একটি দ্বাদশ

যুক্তিটি নেচার-এ একটি বিতর্কের সূচনা করে: প্রায় এক বছরে এগারোটি লেখা, দশটি সেই সাময়িকীতে আর একটি প্রসিডিংস অব দ্য ফিজিক্যাল সোসাইটি-তে। পরীক্ষণবিদ গিলবার্ট ওয়েস্ট (Gilbert West) আপত্তি তোলেন যে “এমন অনেকে আছেন যাঁরা জানেন বিশ্লেষণমূলক কাজে কত সহজে অনুমান ওত পেতে থাকতে পারে, তাঁরা গণিতের মুগুরে ঘায়েল হতে রাজি নন।” তারপর তিনি মূল কথাটি বলেন: হুইটেকার শুধু দেখিয়েছিলেন যে সব গুপ্ত প্যারামিটার যদি ফোটনের হয়, তবে কার্যকারণ ভেঙে পড়ে; পোলারাইজারের স্ফটিকের নিজস্ব প্যারামিটার আছে। গণিতবিদ হেনরি পিয়াজো (Henry Piaggio) 1945 সালের মার্চে বারট্রান্ড রাসেলকে উদ্ধৃত করে একটি যুদ্ধবিরতির মাধ্যমে আলোচনাটি শেষ করেন: পূর্ণ নির্ধারণবাদের পক্ষে কোনো চূড়ান্ত কারণ নেই, কিন্তু বিপক্ষেও কোনো কারণ নেই।

এতদিন কেউ যা জানত না, তা হলো একটি দ্বাদশ জবাবও ছিল। সেটি টিকে আছে ভিয়েনা বিশ্ববিদ্যালয়ে অস্ট্রিয়ান সেন্ট্রাল লাইব্রেরি ফর ফিজিক্সের এরভিন শ্রোডিঙ্গার আর্কাইভে, “Collapse of Determinism” (নির্ধারণবাদের পতন) শিরোনামের একটি তারিখহীন হাতে লেখা খসড়া হিসেবে। এতে 1944 সালের 25 নভেম্বরের একটি চিঠি পর্যন্ত বিতর্কের উল্লেখ আছে, তাই এটি তার পরে লেখা। দেল সান্তো এর প্রথম পূর্ণ প্রতিলিপি ও বিশ্লেষণ প্রকাশ করেছেন।

কয়েকটি লাইন যা নির্ধারণবাদকে বাঁচায়

“আমিও এই সিদ্ধান্তে বিভ্রান্ত হয়েছি,” শ্রোডিঙ্গার লিখেছিলেন। “কারণ উৎপাদিত অসংগতিটি স্পষ্টতই কেবল দুটি বিচ্ছিন্ন প্যারামিটার-মানের সরলীকৃত অনুমান থেকে তৈরি।”

তাঁর সমাধান: প্রতিটি ফোটনকে 0 ও 1-এর মাঝে একটি গুপ্ত বাস্তব সংখ্যা λ দিন, সমভাবে ছড়ানো, এবং λ ≥ sin²φ হলে ফোটনটিকে পেরোতে দিন। তখন যে ফোটনগুলো পেরোয় তাদের অংশ ঠিক cos²φ — ম্যালাসের সূত্র, যেখানে প্রতিটি ফল ফোটনের সংখ্যা ও পোলারাইজারের কোণ দিয়ে আগে থেকেই নির্ধারিত। দ্বিতীয় একটি পোলারাইজার সামলাতে শ্রোডিঙ্গার একটি নির্ধারণবাদী হালনাগাদ যোগ করেন: সঞ্চালিত ফোটনের সংখ্যা হয়ে যায় λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ, যা টিকে থাকা ফোটনগুলোকে আবার 0 থেকে 1-এ সমভাবে ছড়িয়ে দেয়। দেল সান্তো দেখান, তখন φ′ কোণের একটি দ্বিতীয় পোলারাইজার তাদের cos²(φ′ − φ) ভগ্নাংশকে পেরোতে দেয়, ঠিক যেমন কোয়ান্টাম বলবিদ্যা পূর্বাভাস দেয়। শ্রোডিঙ্গার প্রতিফলিত ফোটনের নিয়মও দিয়েছিলেন: “এই পরিবর্তনগুলো ধরে নেওয়ায় আমি কোনো অসংগতি দেখি না।”

দেল সান্তো একটি বিষয় যোগ করেন, যা মনে হয় বিতর্কে সবার চোখ এড়িয়ে গিয়েছিল, হুইটেকার ও শ্রোডিঙ্গারসহ: একটি বিট খুব কম হওয়ার মধ্যে বিশেষভাবে কোয়ান্টাম কিছু নেই। মুদ্রা বাতাসে থাকতে থাকতে যদি আপনি মেঝে সরাতে পারেন, তবে মুদ্রারও একাধিক বিট লাগে।

এক নির্ধারণবাদী, যিনি তা ছিলেন না

পাণ্ডুলিপির বাকি অংশ দর্শনের দিকে মোড় নেয়। “পরীক্ষালব্ধ প্রমাণ + যৌক্তিক অবরোহ কখনো প্রমাণ করতে পারে না যে নির্ধারণবাদী বা অনির্ধারণবাদী দৃষ্টিভঙ্গির কোনোটি অসম্ভব,” শ্রোডিঙ্গার লিখেছিলেন, এবং “অনির্ধারণবাদের পক্ষে সবচেয়ে জোরালো যুক্তিটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যার চেয়েও পুরনো।”

তাই দেল সান্তোর কাছে মডেলটি একটি নীতিগত প্রমাণ (proof of principle), মত পরিবর্তন নয়। 1920-এর দশকের শুরু থেকে, ফ্রানৎস এক্সনারের (Franz Exner) প্রভাবে, শ্রোডিঙ্গার মনে করতেন যে “প্রকৃতির নিয়মগুলো পুরোপুরি পরিসংখ্যানগত চরিত্রের” এবং নির্ধারণবাদকে বলতেন একটি “দার্শনিক কুসংস্কার”।

তিনি এটি কখনো পাঠাননি কেন? হাইনরিখ পেলৎসার (Heinrich Pelzer) 1944 সালের মে মাসে হুইটেকারের জবাবে গুপ্ত-চলরাশিভিত্তিক উত্তর প্রকাশ করেছিলেন, যা 1945 সালের জানুয়ারিতে নেচার-এর বিতর্কে উদ্ধৃত হয়। প্রুফ-পর্যায়ে যোগ করা একটি ছোট টীকায় দেওয়া তাঁর পরিমাণগত সংস্করণটি একটি পোলারাইজারের ক্ষেত্রে শ্রোডিঙ্গারের সংস্করণের সমতুল্য, যদিও প্রতিটি ফোটনের জন্য স্পষ্ট হালনাগাদ-নিয়ম ছাড়া। দেল সান্তোর ইঙ্গিত, শ্রোডিঙ্গার এ কথা জেনে হয়তো ভেবেছিলেন বক্তব্যটি ইতিমধ্যেই বলা হয়ে গেছে।

পরবর্তী ইতিহাসও গবেষণাপত্রে আছে। বোম 1952 সালে গুপ্ত চলরাশিকে পুনরুজ্জীবিত করেন; 1964 সালে বেল দেখান যে স্থানীয় গুপ্ত-চলরাশি মডেল পরীক্ষাযোগ্য পূর্বাভাস দেয়, এবং তারপর থেকে পরীক্ষাগুলো সেই শ্রেণিকে বাতিল করেছে। আইনস্টাইন, শ্রোডিঙ্গার ও বোম — নির্ধারণবাদের প্রবক্তা হিসেবে সবচেয়ে বেশি চিত্রিত তিনটি নাম — সবাই কোনো এক সময় এমন মডেল তৈরি করেছিলেন। দেল সান্তোর যুক্তি, তাঁদের কেউই নিছক নির্ধারণবাদী ছিলেন না।