SCHRÖDINGERS UNVERÖFFENTLICHTES MODELL MIT VERBORGENEN VARIABLEN, IN WIEN GEFUNDEN

Wirft man eine faire Münze, liegt die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei fünfzig Prozent. In der klassischen Physik spiegelt diese Wahrscheinlichkeit nur Unwissen wider: Die Kraft des Wurfs, der Luftwiderstand und so weiter entscheiden über das Ergebnis, und wüsste man all das, wäre der Wurf vorhersagbar. Die Quantenmechanik ist anders. Ihr Formalismus sagt meist nur Wahrscheinlichkeiten voraus. Von Anfang an fragten sich manche Physiker, ob sie unvollständig sei – ob zusätzliche, verborgene Variablen darunter ein deterministisches Bild wiederherstellen könnten.

1932 veröffentlichte John von Neumann, was weithin als Beweis galt, dass dies unmöglich sei. Grete Hermann erkannte schon 1935 Probleme mit seiner Allgemeingültigkeit, doch ihre Kritik blieb fast unbeachtet. Die Grenzen des Beweises wurden erst nach David Bohms deterministischer Theorie verborgener Variablen von 1952 und John Bells Kritik von 1966 allgemein anerkannt. Dazwischen war die Suche nach Modellen mit verborgenen Variablen laut Flavio Del Santo von der Universität Genf und der Constructor University in Bremen für mehr als ein Jahrzehnt praktisch zum Erliegen gekommen.

Ein Photon, das es nicht wissen kann

Mitten im Krieg kehrte die Frage zurück. Am 18. Mai 1943 hielt der Mathematiker und Physiker Edmund Taylor Whittaker in London einen Vortrag, in dem er behauptete, die Quantenmechanik habe „die Fesseln der Notwendigkeit“ gesprengt. Am 3. Januar 1944 sagte Satyendra Nath Bose in Delhi im Wesentlichen dasselbe: „Vor fünfzig Jahren war der Glaube an Kausalität und Determiniertheit absolut. Heute haben die Physiker Wissen gewonnen, aber ihren Glauben verloren.“

Whittaker fügte ein einfaches Argument hinzu. Ein polarisiertes Photon passiert einen Polarisator mit der Wahrscheinlichkeit cos²φ, wobei φ der Winkel zwischen seiner Polarisation und dem Polarisator ist: Das ist das Gesetz von Malus. Angenommen, jedes Photon trägt ein verborgenes Bit, 0 für „durchlassen“ und 1 für „blockiert“. Von N Photonen müssen dann N cos²φ eine 0 tragen. Man kann den Polarisator aber drehen, während die Photonen schon unterwegs sind. Ihre Bits können sich nicht ändern, also kann sich auch der durchgelassene Anteil nicht ändern – doch das Gesetz von Malus sagt, er muss es. Verborgene Variablen, folgerte Whittaker, sind unmöglich.

Elf Erwiderungen und eine zwölfte

Das Argument löste in Nature eine Debatte aus: elf Beiträge in rund einem Jahr, zehn in dieser Zeitschrift und einer in den Proceedings of the Physical Society. Der Experimentalphysiker Gilbert West wandte ein, es gebe „viele, die, wissend, wie leicht sich Annahmen in analytischer Arbeit verstecken können, sich weigern, sich mathematisch niederknüppeln zu lassen“. Dann brachte er den entscheidenden Punkt vor: Whittaker habe nur gezeigt, dass die Kausalität versagt, wenn alle verborgenen Parameter zum Photon gehören; der Kristall des Polarisators hat eigene. Der Mathematiker Henry Piaggio beendete den Austausch im März 1945 mit einem Waffenstillstand und zitierte Bertrand Russell: kein zwingender Grund für einen vollständigen Determinismus, aber auch keiner dagegen.

Was bis heute niemand wusste: Es gab eine zwölfte Erwiderung. Sie ist als undatierter handschriftlicher Entwurf mit dem Titel „Collapse of Determinism“ im Erwin-Schrödinger-Archiv der Zentralbibliothek für Physik an der Universität Wien erhalten. Sie erwähnt die Debatte bis zu einem Brief vom 25. November 1944, wurde also danach geschrieben. Del Santo veröffentlicht die erste vollständige Transkription und Analyse.

Wenige Zeilen, die den Determinismus retten

„Auch mich hat diese Schlussfolgerung stutzig gemacht“, schrieb Schrödinger. „Denn die abgeleitete Absurdität entsteht sichtlich durch die vereinfachende Annahme von nur zwei diskreten Parameterwerten.“

Seine Lösung: Man gibt jedem Photon eine verborgene reelle Zahl λ zwischen 0 und 1, gleichmäßig verteilt, und lässt das Photon durch, wenn λ ≥ sin²φ. Der Anteil durchgelassener Photonen ist dann genau cos²φ – das Gesetz von Malus, wobei jedes Ergebnis durch die Zahl des Photons und den Winkel des Polarisators im Voraus festgelegt ist. Um einen zweiten Polarisator zu behandeln, fügte Schrödinger eine deterministische Aktualisierung hinzu: Die Zahl eines durchgelassenen Photons wird zu λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ, was die übrigen Photonen wieder gleichmäßig über 0 bis 1 verteilt. Del Santo zeigt, dass ein zweiter Polarisator im Winkel φ′ dann einen Anteil cos²(φ′ − φ) von ihnen durchlässt, wie es die Quantenmechanik vorhersagt. Schrödinger gab auch die Regel für reflektierte Photonen an: „Ich kann keinen Widerspruch darin sehen, diese Änderungen anzunehmen.“

Del Santo ergänzt einen Punkt, der allen Beteiligten der Debatte entgangen zu sein scheint, Whittaker und Schrödinger eingeschlossen: Dass ein Bit zu wenig ist, hat nichts spezifisch Quantenmechanisches. Auch eine Münze braucht mehr als ein Bit, wenn man den Boden verschieben kann, während sie in der Luft ist.

Ein Determinist, der keiner war

Der Rest des Manuskripts wendet sich der Philosophie zu. „Experimentelle Befunde + logische Deduktion können nie beweisen, dass entweder die deterministische oder die indeterministische Sichtweise unmöglich ist“, schrieb Schrödinger, und „das stärkste Plädoyer für den Indeterminismus ist älter als die Quantenmechanik“.

Für Del Santo ist das Modell daher ein Machbarkeitsbeweis, keine Bekehrung. Seit den frühen 1920er-Jahren vertrat Schrödinger unter dem Einfluss von Franz Exner die Ansicht, dass „die Naturgesetze durch und durch statistischen Charakter haben“, und nannte den Determinismus ein „philosophisches Vorurteil“.

Warum schickte er es nie ab? Heinrich Pelzer hatte im Mai 1944 Antworten an Whittaker mit verborgenen Variablen veröffentlicht, die im Januar 1945 in der Nature-Debatte zitiert wurden. Seine quantitative Fassung, in einer kurzen, bei der Korrektur hinzugefügten Notiz, entspricht für einen einzelnen Polarisator der von Schrödinger, allerdings ohne explizite Aktualisierungsregel für jedes Photon. Del Santo vermutet, dass Schrödinger, als er davon erfuhr, den Punkt für bereits gemacht hielt.

Die Geschichte danach steht ebenfalls in der Arbeit. Bohm belebte die verborgenen Variablen 1952 wieder; 1964 zeigte Bell, dass Modelle mit lokalen verborgenen Variablen überprüfbare Vorhersagen machen, und Experimente haben diese Klasse seither ausgeschlossen. Einstein, Schrödinger und Bohm – die drei Namen, die am häufigsten als Verfechter des Determinismus dargestellt werden – bauten alle irgendwann solche Modelle. Keiner von ihnen, argumentiert Del Santo, war einfach ein Determinist.