LE MODÈLE À VARIABLES CACHÉES INÉDIT DE SCHRÖDINGER, RETROUVÉ À VIENNE

Quand on lance une pièce équilibrée, elle a une chance sur deux de tomber sur pile. En physique classique, ce hasard ne traduit que notre ignorance : la force du lancer, la résistance de l’air et le reste décident du résultat, et en les connaissant tous, le lancer serait prévisible. La mécanique quantique est différente. Son formalisme ne prédit en général que des probabilités. Dès le début, des physiciens se sont demandé si elle était incomplète — si des variables cachées supplémentaires pouvaient rétablir, en dessous, une image déterministe.

En 1932, John von Neumann publie ce qui passe largement pour une preuve que c’est impossible. Grete Hermann relève dès 1935 des problèmes de généralité dans son raisonnement, mais sa critique passe presque inaperçue. Les limites de la preuve ne seront largement reconnues qu’après la théorie déterministe à variables cachées de David Bohm, en 1952, et la critique de John Bell, en 1966. Entre-temps, selon Flavio Del Santo, de l’université de Genève et de la Constructor University de Brême, la recherche de modèles à variables cachées avait quasiment disparu pendant plus de dix ans.

Un photon qui ne peut pas savoir

La question revient en pleine guerre. Le 18 mai 1943, le mathématicien et physicien Edmund Taylor Whittaker donne à Londres une conférence affirmant que la mécanique quantique a brisé « les liens de la nécessité ». Le 3 janvier 1944, Satyendra Nath Bose dit à peu près la même chose à Delhi : « Il y a cinquante ans, la croyance en la causalité et la détermination était absolue. Aujourd’hui, les physiciens ont gagné du savoir mais perdu leur foi. »

Whittaker ajoute un argument simple. Un photon polarisé traverse un polariseur avec une probabilité cos²φ, où φ est l’angle entre sa polarisation et le polariseur : c’est la loi de Malus. Supposons que chaque photon porte un bit caché, 0 pour « passe » et 1 pour « bloqué ». Sur N photons, N cos²φ doivent porter un 0. Mais on peut tourner le polariseur pendant que les photons sont déjà en vol. Leurs bits ne peuvent pas changer, donc la proportion qui passe non plus — alors que la loi de Malus exige qu’elle change. Les variables cachées, conclut Whittaker, sont impossibles.

Onze réponses, et une douzième

L’argument déclenche un débat dans Nature : onze contributions en un an environ, dix dans cette revue et une dans les Proceedings of the Physical Society. L’expérimentateur Gilbert West objecte que « beaucoup, sachant avec quelle facilité des hypothèses peuvent se cacher dans un travail analytique, refusent d’être matraqués par les mathématiques ». Puis il pose le point clé : Whittaker a seulement montré que la causalité échoue si tous les paramètres cachés appartiennent au photon ; le cristal du polariseur a les siens. Le mathématicien Henry Piaggio clôt l’échange en mars 1945 par une trêve, en citant Bertrand Russell : aucune raison décisive en faveur du déterminisme complet, mais aucune contre non plus.

Ce que personne ne savait jusqu’ici, c’est qu’il existait une douzième réponse. Elle survit sous la forme d’un brouillon manuscrit non daté, intitulé « Collapse of Determinism », aux archives Erwin Schrödinger de la Bibliothèque centrale autrichienne de physique, à l’université de Vienne. Il mentionne le débat jusqu’à une lettre du 25 novembre 1944 : il a donc été écrit après. Del Santo en publie la première transcription complète et la première analyse.

Quelques lignes qui sauvent le déterminisme

« Moi aussi, j’ai été intrigué par cette conclusion », écrit Schrödinger. « Car l’absurdité déduite est visiblement produite par l’hypothèse simplificatrice de deux valeurs discrètes seulement du paramètre. »

Sa solution : donner à chaque photon un nombre réel caché λ entre 0 et 1, réparti uniformément, et le laisser passer quand λ ≥ sin²φ. La proportion de photons qui passent vaut alors exactement cos²φ — la loi de Malus, avec chaque issue fixée d’avance par le nombre du photon et l’angle du polariseur. Pour traiter un second polariseur, Schrödinger ajoute une mise à jour déterministe : le nombre d’un photon transmis devient λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ, ce qui répartit de nouveau les survivants uniformément entre 0 et 1. Del Santo montre qu’un second polariseur à l’angle φ′ en laisse alors passer une fraction cos²(φ′ − φ), comme le prédit la mécanique quantique. Schrödinger donne aussi la règle pour les photons réfléchis : « Je ne vois aucune incohérence à supposer ces changements. »

Del Santo ajoute un point qui semble avoir échappé à tous les participants, Whittaker et Schrödinger compris : qu’un seul bit ne suffise pas n’a rien de spécifiquement quantique. Une pièce aussi demande plus d’un bit si l’on peut déplacer le sol pendant qu’elle est en l’air.

Un déterministe qui n’en était pas un

La suite du manuscrit passe à la philosophie. « L’expérience + la déduction logique ne peuvent jamais prouver que la vision déterministe ou la vision indéterministe est impossible », écrit Schrödinger, et « le plaidoyer le plus fort en faveur de l’indéterminisme est plus ancien que la mécanique quantique ».

Pour Del Santo, le modèle est donc une preuve de principe, pas une conversion. Depuis le début des années 1920, sous l’influence de Franz Exner, Schrödinger tenait que « les lois de la Nature ont un caractère entièrement statistique » et qualifiait le déterminisme de « préjugé philosophique ».

Pourquoi ne l’a-t-il jamais envoyé ? Heinrich Pelzer avait publié en mai 1944 des réponses à variables cachées à Whittaker, citées dans le débat de Nature en janvier 1945. Sa version quantitative, dans une courte note ajoutée aux épreuves, équivaut à celle de Schrödinger pour un seul polariseur, mais sans règle de mise à jour explicite pour chaque photon. Del Santo suggère que Schrödinger, l’ayant appris, a pu juger l’essentiel déjà dit.

La suite de l’histoire figure aussi dans l’article. Bohm relance les variables cachées en 1952 ; en 1964, Bell montre que les modèles à variables cachées locales font des prédictions testables, et les expériences ont depuis écarté cette classe de modèles. Einstein, Schrödinger et Bohm — les trois noms le plus souvent présentés comme champions du déterminisme — ont tous construit de tels modèles à un moment. Aucun d’eux, défend Del Santo, n’était simplement déterministe.