シュレーディンガーの未発表の隠れた変数モデル、ウィーンで見つかる

ゆがみのないコインを投げると、表が出る確率は50%だ。古典物理学では、この確率は無知を反映しているにすぎない。投げる力、空気抵抗などが結果を決めており、それらをすべて手にしていれば、コイン投げは予測できるはずだ。量子力学は違う。その形式は、ふつう確率しか予測しない。当初から一部の物理学者は、量子力学は不完全なのではないか、つまり追加の隠れた変数が、その下に決定論的な描像を取り戻せるのではないかと考えていた。

1932年、ジョン・フォン・ノイマンは、それが不可能であることの証明と広く受け取られたものを発表した。グレーテ・ヘルマン（Grete Hermann）は早くも1935年にその一般性の問題点に気づいたが、彼女の批判はほとんど注目されなかった。この証明の限界が広く認識されたのは、1952年のデヴィッド・ボームの決定論的な隠れた変数理論と、1966年のジョン・ベルの批判の後になってからだ。ジュネーヴ大学とブレーメンのコンストラクター大学のフラヴィオ・デル・サント（Flavio Del Santo）によれば、そのあいだの10年以上、隠れた変数モデルの探究は実質的に姿を消していた。

知ることのできない光子

この問いは戦争のさなかに戻ってきた。1943年5月18日、数学者で物理学者のエドマンド・テイラー・ホイッテーカー（Edmund Taylor Whittaker）はロンドンで講演し、量子力学は「必然の鎖」を断ち切ったと主張した。1944年1月3日には、サティエンドラ・ナート・ボースがデリーで同じようなことを述べた。「50年前、因果性と決定への信念は絶対的だった。今日、物理学者は知識を得たが、信仰を失った。」

ホイッテーカーは単純な議論を付け加えた。偏光した光子は、確率 cos²φ で偏光子を通過する。ここで φ は光子の偏光と偏光子のなす角だ。これがマリュスの法則である。それぞれの光子が隠れたビットを1つもっているとしよう。「通過」なら0、「遮断」なら1だ。N個の光子のうち、N cos²φ 個が0をもっていなければならない。だが、光子がすでに飛んでいるあいだに偏光子を回すことができる。光子のビットは変われないので、通過する割合も変われない。ところがマリュスの法則は、変わらなければならないと言う。ホイッテーカーは、隠れた変数は不可能だと結論づけた。

11の応答、そして12番目

この議論はNature誌上で論争を巻き起こした。約1年で11の寄稿があり、10はこの誌に、1つはProceedings of the Physical Societyに載った。実験家のギルバート・ウェスト（Gilbert West）は、「解析的な仕事のなかにどれほどたやすく仮定が潜みうるかを知っているがゆえに、数学で殴り倒されるのを拒む者は多い」と反論した。そして彼は核心を突いた。ホイッテーカーが示したのは、隠れたパラメータがすべて光子に属している場合に因果性が破れるということだけだ。偏光子の結晶にも、それ自身のパラメータがある。数学者のヘンリー・ピアッジョ（Henry Piaggio）は1945年3月、バートランド・ラッセルを引用して休戦でやりとりを締めくくった。完全な決定論を支持する決定的な理由はないが、それに反対する理由もない。

いままで誰も知らなかったのは、12番目の応答があったということだ。それは、ウィーン大学にあるオーストリア中央物理学図書館のエルヴィン・シュレーディンガー・アーカイブに、「決定論の崩壊（Collapse of Determinism）」と題された日付のない手書きの草稿として残っている。草稿は1944年11月25日付の書簡までの論争に触れているので、それ以降に書かれたものだ。デル・サントは、その初めての完全な翻刻と分析を発表した。

決定論を救う数行

「私もこの結論には首をひねってきた」とシュレーディンガーは書いた。「導かれた不合理は、パラメータの値を2つの離散値だけとする単純化の仮定によって生み出されているのが明らかだからだ。」

彼の修正はこうだ。各光子に、0から1のあいだに一様に分布する隠れた実数 λ を与え、λ ≥ sin²φ のときに光子が通過するとする。すると通過する光子の割合はちょうど cos²φ になる。マリュスの法則であり、しかもすべての結果は光子の数と偏光子の角度によってあらかじめ決まっている。2枚目の偏光子を扱うために、シュレーディンガーは決定論的な更新を加えた。透過した光子の数は λ′ = (λ − sin²φ)/cos²φ になり、生き残った光子は再び0から1に一様に広がる。デル・サントは、そのとき角度 φ′ の2枚目の偏光子を通過するのが、量子力学の予測どおり cos²(φ′ − φ) の割合であることを示している。シュレーディンガーは反射された光子についての規則も示した。「これらの変化を仮定することに、私は何の矛盾も見いだせない。」

デル・サントは、論争に加わった誰もが、ホイッテーカーもシュレーディンガーも含めて、見落としていたらしい点を付け加えている。1ビットでは足りないということに、量子特有のものは何もない。コインが宙にあるあいだに床を動かせるなら、コインにも1ビット以上が必要になる。

決定論者ではなかった人

草稿の残りは哲学に向かう。「実験的証拠と論理的演繹によって、決定論的な見方と非決定論的な見方のどちらかが不可能だと証明することは決してできない」とシュレーディンガーは書き、「非決定論を支持する最も強い論拠は、量子力学よりも古い」と続けた。

したがってデル・サントにとって、このモデルは原理の証明であって、転向ではない。1920年代初めから、フランツ・エクスナーの影響のもとで、シュレーディンガーは「自然の法則は徹頭徹尾、統計的な性格をもつ」と考え、決定論を「哲学的な偏見」と呼んでいた。

なぜ彼はそれを送らなかったのか。ハインリッヒ・ペルツァー（Heinrich Pelzer）は1944年5月に、ホイッテーカーへの隠れた変数による回答を発表しており、それは1945年1月のNatureの論争で引用されていた。校正時に追加された短い注での彼の定量的な版は、偏光子1枚の場合にはシュレーディンガーのものと同等だが、各光子についての明示的な更新規則はない。デル・サントは、それを知ったシュレーディンガーが、論点はすでに示されたと判断したのかもしれないと示唆している。

その後の歴史も論文に書かれている。ボームは1952年に隠れた変数を復活させた。1964年、ベルは局所的な隠れた変数モデルが検証可能な予測をもたらすことを示し、以来、実験がその種類のモデルを排除してきた。アインシュタイン、シュレーディンガー、ボーム、つまり決定論の擁護者として最もよく名前が挙がる3人は、いずれもどこかの時点でそうしたモデルをつくった。デル・サントは、その誰一人として単純な決定論者ではなかったと論じている。