GLEICHES RÜTTELN, GANZ ANDERE HANGRUTSCHE

Ein Haufen Sand oder Kies kann an einem Hang bis zu einer bestimmten Steilheit ruhig liegen bleiben, seinem Schüttwinkel. Unterhalb dieses kritischen Winkels kann ein Ruck – etwa ein Erdbeben – die Körner eine Weile in Bewegung setzen, bevor sie stehen bleiben. Vorherzusagen, wie viel Material sich bewegt, bevor alles wieder zur Ruhe kommt, ist wichtig für Veränderungen von Landschaften, für die Gefahr von Hangrutschungen und für den Umgang mit Pulvern in der Industrie.

Experimente hatten bereits gezeigt, dass Hänge nahe ihrer Grenze leichter in Bewegung geraten und dass die Bewegung dann länger anhält und sich weiter ausbreitet. Eine grundlegendere Frage war unbeantwortet geblieben: Wenn man Hänge nimmt, die in jeder sichtbaren Hinsicht identisch sind, und sie auf genau dieselbe Weise rüttelt, wie stark schwankt dann das Ergebnis?

Ein Stoß, 128-mal

Fumiaki Nakai und Yuto Sasaki von der Universität Osaka beantworteten sie mit Computersimulationen, die jedes einzelne Korn verfolgen. Ihr Hang besteht aus 2.273 Körnern mit Durchmessern zwischen 1,0 und 1,9 Millimetern, die auf einer rauen Unterlage ruhen. Um ihn zu stören, bewegen sie die Unterlage einmal hangabwärts und zurück, um einen Millimeter, in etwa sechs Hundertstelsekunden.

Bei jedem von 14 Winkeln zwischen 10 und 16,3 Grad führten sie 128 Durchläufe durch. Hang, Körner, Stoß: alles identisch, bis auf die genaue Anfangsanordnung der Körner, wie bei zwei echten Haufen, die gleich aussehen. Dann maßen sie, wie viel Material sich hangabwärts bewegt hatte, nachdem der Hang zur Ruhe gekommen war.

Je näher an der Kante, desto größer die Streuung

Bei 12 Grad liegen die 128 Durchläufe am Ende dicht beieinander. Bei 16,3 Grad unterscheiden sie sich enorm: Manche bewegen sich kaum, andere transportieren weit mehr als der Durchschnitt.

Der kritische Winkel dieses Haufens liegt bei etwa 16,65 Grad. Wenn sich der Hang ihm nähert:

wächst der mittlere Transport ungefähr umgekehrt proportional zum verbleibenden Abstand zu diesem Winkel: Halbiert man den Abstand, verdoppelt sich der Mittelwert;
wächst die Streuung zwischen den Durchläufen, gemessen an der Standardabweichung, schneller, nämlich mit diesem Abstand hoch −1,5;
steigt daher die Streuung im Verhältnis zum Mittelwert immer weiter, und nahe dem kritischen Winkel erreicht sie den Mittelwert selbst und kann ihn übertreffen.

In größeren simulierten Hängen schrumpft die Streuung, ungefähr wie eins durch die Wurzel aus der Länge, doch nahe dem kritischen Winkel steigt sie bei jeder getesteten Größe an.

Zufall in der Energiebilanz

Eine klassische Beschreibung behandelt die fließende Schicht mit einer konstanten Reibung. Die Schwerkraft treibt sie an, die Reibung bremst sie, und sie hält an, wenn ihre kinetische Energie aufgebraucht ist. Das liefert den richtigen Trend für den Mittelwert – einen Transport proportional zu eins durch den Abstand zum kritischen Winkel –, aber nur eine einzige Antwort für gegebene Bedingungen. Eine Streuung kann es nicht erzeugen.

Deshalb fügte das Team der Energiebilanz zufällige Schwankungen hinzu: Während sich die Körner bewegen, zittert die an ihnen verrichtete Arbeit, mit einer Varianz, die mit der zurückgelegten Strecke wächst. Der Fluss stoppt, sobald die Energie zum ersten Mal null erreicht – ein sogenanntes Erstpassageproblem (first-passage problem). Das Ergebnis ist eine präzise Verteilung, eine inverse Gauß-Verteilung, deren Streuung mit dem Abstand zum kritischen Winkel hoch −1,5 wächst, im Einklang mit dem Trend der Simulationen. Einmal an alle 14 Winkel angepasst, erfasst das Modell im Großen und Ganzen den steigenden Mittelwert und den sich immer weiter dehnenden Ausläufer großer Ereignisse.

Der Grund ist anschaulich: Nahe dem kritischen Winkel hält die Schwerkraft der Reibung fast genau die Waage. Die Schicht ist dann kleinen zufälligen Stößen ausgeliefert.

Was das für Hangrutschungen bedeutet

Die Simulationen beschreiben einen idealisierten Körnerhaufen, keinen echten Berghang. Sie legen aber nahe, dass winzige, von außen unsichtbare Unterschiede in der inneren Struktur dazu führen könnten, dass echte Hangrutschungen an ähnlichen Hängen bei ähnlichem Rütteln sehr unterschiedlich ausgehen. Nahe der Stabilitätsgrenze, so das Fazit des Teams, erfordert die Beurteilung eines Hangs die vollständige Verteilung der möglichen Ergebnisse, und Theorien des granularen Fließens werden den Zufall einbauen müssen.