ایک ہی جھٹکا، بالکل مختلف لینڈ سلائیڈنگ
ریت یا بجری کا ڈھیر کسی ڈھلوان پر ایک خاص ڈھلان تک ساکن رہ سکتا ہے، جسے اس کا زاویۂ سکون (angle of repose) کہتے ہیں۔ اس فیصلہ کن زاویے سے کم پر، ایک جھٹکا — مثلاً کوئی زلزلہ — دانوں کو کچھ دیر کے لیے بہا سکتا ہے، پھر وہ رک جاتے ہیں۔ یہ پیش گوئی کرنا کہ سب کچھ تھمنے سے پہلے کتنا مواد حرکت کرتا ہے، زمینی مناظر میں تبدیلیوں، لینڈ سلائیڈنگ کے خطرات اور صنعت میں سفوف (powders) کو سنبھالنے کے لیے اہم ہے۔
تجربات پہلے ہی دکھا چکے تھے کہ اپنی حد کے قریب ڈھلوانوں کو حرکت میں لانا زیادہ آسان ہوتا ہے، اور پھر یہ حرکت زیادہ دیر تک جاری رہتی اور زیادہ دور تک پھیلتی ہے۔ ایک زیادہ بنیادی سوال کا جواب ابھی نہیں ملا تھا: اگر آپ ایسی ڈھلوانیں لیں جو ہر نظر آنے والے لحاظ سے یکساں ہوں، اور انہیں بالکل ایک ہی طرح ہلائیں، تو نتیجہ کتنا مختلف ہوتا ہے؟
ایک دھکا، 128 بار
اوساکا یونیورسٹی کے Fumiaki Nakai اور Yuto Sasaki نے اس کا جواب ایسی کمپیوٹر سمولیشنز سے دیا جو ہر دانے کا پیچھا کرتی ہیں۔ ان کی ڈھلوان میں 2,273 دانے ہیں، جن کا قطر 1.0 سے 1.9 ملی میٹر کے درمیان ہے، اور جو ایک کھردری بنیاد پر ٹکے ہوئے ہیں۔ اسے چھیڑنے کے لیے بنیاد کو ایک بار ایک ملی میٹر ڈھلوان کی سمت نیچے اور پھر واپس سرکایا جاتا ہے، سیکنڈ کے سو حصوں میں سے تقریباً چھ حصوں میں۔
10 اور 16.3 ڈگری کے درمیان 14 زاویوں میں سے ہر ایک پر انہوں نے 128 آزمائشیں چلائیں۔ ڈھلوان، دانے، دھکا: سب کچھ یکساں، سوائے دانوں کی عین ابتدائی ترتیب کے، جیسا کہ دو حقیقی ڈھیروں میں ہوتا ہے جو ایک جیسے دکھائی دیتے ہیں۔ پھر انہوں نے ناپا کہ ڈھلوان کے ٹھہر جانے کے بعد کتنا مواد ڈھلوان کی سمت نیچے سرک چکا تھا۔
کنارے کے جتنا قریب، پھیلاؤ اتنا زیادہ
12 ڈگری پر، 128 آزمائشوں کے نتائج ایک دوسرے کے قریب رہتے ہیں۔ 16.3 ڈگری پر وہ بے حد مختلف ہوتے ہیں: کچھ آزمائشوں میں بمشکل کوئی حرکت ہوتی ہے، جبکہ دوسری اوسط سے کہیں زیادہ مواد بہا لے جاتی ہیں۔
اس ڈھیر کا فیصلہ کن زاویہ تقریباً 16.65 ڈگری ہے۔ جیسے جیسے ڈھلوان اس کے قریب آتی ہے:
- اوسط نقل و حمل (transport) اس زاویے تک باقی فاصلے کے تقریباً معکوس تناسب سے بڑھتی ہے: فاصلہ آدھا کریں تو اوسط دگنی ہو جاتی ہے؛
- آزمائشوں کے درمیان پھیلاؤ، جسے معیاری انحراف (standard deviation) سے ناپا جاتا ہے، زیادہ تیزی سے بڑھتا ہے، اس فاصلے کی قوت −1.5 کے حساب سے؛
- چنانچہ اوسط کے مقابلے میں پھیلاؤ بڑھتا ہی چلا جاتا ہے، اور فیصلہ کن زاویے کے قریب یہ خود اوسط تک پہنچ جاتا ہے اور اس سے بڑھ بھی سکتا ہے۔
بڑی نقلی ڈھلوانوں میں پھیلاؤ سکڑ جاتا ہے، تقریباً لمبائی کے جذرِ مربع کے معکوس کے حساب سے، لیکن آزمائی گئی ہر جسامت پر یہ فیصلہ کن زاویے کے قریب بڑھ جاتا ہے۔
توانائی کے توازن میں اتفاق
ایک کلاسیکی بیان بہتی ہوئی تہہ کو ایک مستقل رگڑ کے ساتھ دیکھتا ہے۔ کششِ ثقل اسے دھکیلتی ہے، رگڑ اسے سست کرتی ہے، اور جب اس کی حرکی توانائی ختم ہو جاتی ہے تو یہ رک جاتی ہے۔ اس سے اوسط کا درست رجحان ملتا ہے — ایسی نقل و حمل جو فیصلہ کن زاویے تک فاصلے کے معکوس کے متناسب ہو — لیکن دی گئی شرائط کے لیے صرف ایک ہی جواب۔ یہ بیان کوئی پھیلاؤ پیدا نہیں کر سکتا۔
اس لیے مصنفین نے توانائی کے توازن میں بے ترتیب اتار چڑھاؤ (random fluctuations) شامل کیے: جیسے جیسے دانے حرکت کرتے ہیں، ان پر کیا جانے والا کام لرزتا رہتا ہے، اور اس کا تغیر (variance) طے کیے گئے فاصلے کے ساتھ بڑھتا ہے۔ بہاؤ اس لمحے رکتا ہے جب توانائی پہلی بار صفر کو چھوتی ہے، جسے پہلی رسائی (first-passage) کا مسئلہ کہا جاتا ہے۔ نتیجہ ایک قطعی تقسیم ہے، معکوس گاؤسی (inverse Gaussian)، جس کا پھیلاؤ فیصلہ کن زاویے تک فاصلے کی قوت −1.5 کے حساب سے بڑھتا ہے، جو سمولیشنز کے رجحان سے مطابقت رکھتا ہے۔ تمام 14 زاویوں پر ایک ہی بار فٹ کیے جانے کے بعد، یہ ماڈل بڑھتی ہوئی اوسط اور بڑے واقعات کی پھیلتی ہوئی دُم (tail) کو مجموعی طور پر گرفت میں لے لیتا ہے۔
وجہ وجدانی ہے: فیصلہ کن زاویے کے قریب کششِ ثقل تقریباً عین رگڑ کے برابر ہوتی ہے۔ تب تہہ چھوٹے چھوٹے بے ترتیب دھکوں کے رحم و کرم پر ہوتی ہے۔
لینڈ سلائیڈنگ کے لیے اس کا کیا مطلب ہے
یہ سمولیشنز دانوں کے ایک مثالی ڈھیر کو بیان کرتی ہیں، کسی حقیقی پہاڑی ڈھلان کو نہیں۔ لیکن ان سے اشارہ ملتا ہے کہ اندرونی ساخت کے ننھے فرق، جو باہر سے نظر نہیں آتے، ملتی جلتی ڈھلوانوں پر، ملتے جلتے جھٹکوں کے تحت، حقیقی لینڈ سلائیڈنگ کا انجام بہت مختلف بنا سکتے ہیں۔ مصنفین کا نتیجہ یہ ہے کہ استحکام کی حد کے قریب کسی ڈھلوان کا اندازہ لگانے کے لیے ممکنہ نتائج کی پوری تقسیم درکار ہے، اور دانے دار بہاؤ (granular flow) کے نظریات میں بے ترتیبی کو شامل کرنا ہوگا۔