একই ঝাঁকুনি, খুব আলাদা ভূমিধস

বালি বা নুড়ির একটি স্তূপ ঢালের ওপর একটি নির্দিষ্ট খাড়াভাব পর্যন্ত স্থির বসে থাকতে পারে — এটি তার বিরাম কোণ (angle of repose)। ওই সংকট কোণের (critical angle) নিচে একটি ঝাঁকুনি — উদাহরণস্বরূপ একটি ভূমিকম্প — দানাগুলোকে কিছুক্ষণ প্রবাহিত করতে পারে, তারপর সেগুলো থেমে যায়। সবকিছু থিতু হওয়ার আগে কতটা উপাদান সরে যায় তার পূর্বাভাস গুরুত্বপূর্ণ ভূদৃশ্যের পরিবর্তনের জন্য, ভূমিধসের ঝুঁকির জন্য, আর শিল্পে গুঁড়ো পদার্থ সামলানোর জন্য।

পরীক্ষায় আগেই দেখা গিয়েছিল যে নিজেদের সীমার কাছাকাছি থাকা ঢালকে গতিশীল করা সহজতর, আর তখন সেই গতি বেশিক্ষণ টেকে ও আরও দূরে ছড়ায়। আরও মৌলিক একটি প্রশ্নের উত্তর মেলেনি: যদি এমন ঢাল নেওয়া হয় যা দৃশ্যমান সব দিক থেকে অভিন্ন, আর সেগুলোকে ঠিক একইভাবে ঝাঁকানো হয়, তাহলে ফলাফল কতটা বদলায়?

একটি ধাক্কা, 128 বার

ওসাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের ফুমিয়াকি নাকাই (Fumiaki Nakai) ও ইউতো সাসাকি (Yuto Sasaki) এর উত্তর দিয়েছেন এমন কম্পিউটার সিমুলেশনের মাধ্যমে, যা প্রতিটি দানাকে অনুসরণ করে। তাঁদের ঢালে আছে 2,273টি দানা, 1.0 থেকে 1.9 মিলিমিটার চওড়া, যা একটি অমসৃণ ভিত্তির ওপর বসানো। এটিকে বিচলিত করতে তাঁরা ভিত্তিটিকে একবার ঢাল বেয়ে নিচের দিকে এক মিলিমিটার সরিয়ে আবার ফিরিয়ে আনেন, সেকেন্ডের প্রায় একশো ভাগের ছয় ভাগ সময়ে।

10 থেকে 16.3 ডিগ্রির মধ্যে 14টি কোণের প্রতিটিতে তাঁরা 128টি পরীক্ষা (trials) চালিয়েছেন। ঢাল, দানা, ধাক্কা: সবকিছু অভিন্ন, কেবল দানাগুলোর হুবহু প্রাথমিক বিন্যাস ছাড়া, ঠিক যেমন দেখতে একই রকম দুটি বাস্তব স্তূপে হয়। এরপর তাঁরা মেপেছেন ঢালটি থিতু হওয়ার পর কতটা উপাদান নিচের দিকে সরে গেছে।

কিনারার যত কাছে, বিস্তার তত বেশি

12 ডিগ্রিতে 128টি পরীক্ষার ফল একে অপরের কাছাকাছি থাকে। 16.3 ডিগ্রিতে সেগুলো ব্যাপকভাবে আলাদা: কয়েকটি প্রায় নড়েই না, অন্যগুলো গড়ের চেয়ে অনেক বেশি উপাদান বয়ে নিয়ে যায়।

এই স্তূপের সংকট কোণ প্রায় 16.65 ডিগ্রি। ঢাল এর কাছে পৌঁছাতে থাকলে:

• গড় পরিবহন বাড়ে মোটামুটি ওই কোণ পর্যন্ত বাকি দূরত্বের ব্যস্তানুপাতে: দূরত্ব অর্ধেক করলে গড় দ্বিগুণ;
• পরীক্ষাগুলোর মধ্যে বিস্তার, যা মাপা হয় আদর্শ বিচ্যুতি (standard deviation) দিয়ে — একটি পরীক্ষা আর গড়ের মধ্যে সাধারণ ব্যবধান — বাড়ে আরও দ্রুত, ওই দূরত্বের −1.5 ঘাত হিসেবে: দূরত্ব অর্ধেক করলে বিস্তার প্রায় 2.8 গুণ হয়;
• তাই গড়ের তুলনায় বিস্তার বাড়তেই থাকে, আর সংকট কোণের কাছে এটি গড়ের সমান হয়ে যায় এবং গড়কেও ছাড়িয়ে যেতে পারে।

সিমুলেট করা বড় ঢালগুলোতে বিস্তার কমে, মোটামুটি দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতে, কিন্তু পরীক্ষিত প্রতিটি আকারেই সংকট কোণের কাছে এটি বাড়ে।

শক্তির হিসাবে দৈবতা

একটি প্রচলিত বর্ণনা প্রবাহিত স্তরটিকে একটি ধ্রুব ঘর্ষণসহ বিবেচনা করে। মাধ্যাকর্ষণ একে ঠেলে, ঘর্ষণ একে ধীর করে, আর এর গতিশক্তি ফুরিয়ে গেলে এটি থেমে যায়। এটি গড়ের জন্য সঠিক প্রবণতা দেয় — সংকট কোণ পর্যন্ত দূরত্বের ব্যস্তানুপাতিক একটি পরিবহন — কিন্তু নির্দিষ্ট শর্তে মাত্র একটি উত্তর। এটি কোনো বিস্তার তৈরি করতে পারে না।

তাই লেখকেরা শক্তির হিসাবে দৈব ওঠানামা (random fluctuations) যোগ করেছেন: দানাগুলো চলার সময় তাদের ওপর করা কাজ এলোমেলোভাবে কাঁপে, আর নিচের দিকে যত বেশি উপাদান বয়ে যায়, এই দৈব ধাক্কাগুলো তত জমতে থাকে। শক্তি প্রথমবার শূন্যে পৌঁছালেই প্রবাহ থেমে যায় — একে বলে প্রথম-উত্তরণ সমস্যা (first-passage problem)। এর ফল হলো সম্ভাব্য পরিণতির একটি সুনির্দিষ্ট বণ্টন, যার নাম ইনভার্স গাউসিয়ান (inverse Gaussian): একপেশে, খুব বড় ধসের দিকে একটি লম্বা লেজসহ। এর বিস্তার বাড়ে সংকট কোণ পর্যন্ত দূরত্বের −1.5 ঘাত হিসেবে, সিমুলেশনের প্রবণতার সঙ্গে সংগতি রেখে। 14টি কোণের সবগুলোর সঙ্গে একবারে মিলিয়ে নেওয়া (fitted) মডেলটি মোটামুটিভাবে ধরতে পারে বাড়তে থাকা গড় আর বড় ঘটনাগুলোর ক্রমশ প্রসারিত লেজ।

কারণটি সহজেই বোঝা যায়: সংকট কোণের কাছে মাধ্যাকর্ষণ প্রায় হুবহু ঘর্ষণের সমান হয়ে যায়। তখন স্তরটি ছোট ছোট দৈব ধাক্কার দয়ার ওপর নির্ভর করে।

ভূমিধসের জন্য এর অর্থ

সিমুলেশনগুলো দানার একটি আদর্শায়িত স্তূপের বর্ণনা দেয়, কোনো বাস্তব পাহাড়ের ঢালের নয়। তবে এগুলো ইঙ্গিত দেয় যে অভ্যন্তরীণ গঠনের ক্ষুদ্র পার্থক্য, যা বাইরে থেকে অদৃশ্য, একই রকম ঢালে, একই রকম কম্পনে, বাস্তব ভূমিধসগুলোর পরিণতি খুব আলাদা করে দিতে পারে। লেখকেরা উপসংহারে বলেছেন, স্থিতিশীলতার সীমার কাছে একটি ঢাল মূল্যায়ন করতে সম্ভাব্য ফলাফলের পূর্ণ বণ্টন লাগে, আর দানাদার প্রবাহের (granular flow) তত্ত্বগুলোতে দৈবতাকে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।