एक जैसा झटका, बिल्कुल अलग भूस्खलन

रेत या बजरी का ढेर एक निश्चित खड़ेपन तक ढलान पर स्थिर बैठा रह सकता है, जिसे उसका विराम कोण (angle of repose) कहते हैं। उस क्रांतिक कोण से नीचे, एक झटका — उदाहरण के लिए भूकंप — दानों को कुछ समय के लिए बहा सकता है, जिसके बाद वे रुक जाते हैं। सब कुछ थमने से पहले कितना पदार्थ खिसकता है, इसका पूर्वानुमान भू-दृश्यों में होने वाले बदलावों के लिए, भूस्खलन के ख़तरों के लिए, और उद्योग में चूर्णों (powders) को सँभालने के लिए मायने रखता है।

प्रयोगों से पहले ही पता चल चुका था कि अपनी सीमा के पास की ढलानों को गति में लाना आसान होता है, और तब गति अधिक देर तक चलती है और अधिक दूर तक फैलती है। एक अधिक बुनियादी प्रश्न का उत्तर नहीं मिला था: यदि आप ऐसी ढलानें लें जो हर दिखाई देने वाले पहलू में एक जैसी हों, और उन्हें ठीक एक ही तरह से हिलाएँ, तो परिणाम कितना बदलता है?

एक धक्का, 128 बार

ओसाका विश्वविद्यालय (University of Osaka) के फ़ुमिआकी नकाई (Fumiaki Nakai) और यूतो सासाकी (Yuto Sasaki) ने इसका उत्तर ऐसे कंप्यूटर सिमुलेशनों से दिया जो हर एक दाने पर नज़र रखते हैं। उनकी ढलान में 2,273 दाने हैं, जिनका आकार 1.0 से 1.9 मिलीमीटर के बीच है, और जो एक खुरदरे आधार पर टिके हैं। ढलान को विचलित करने के लिए, आधार को एक बार ढलान की दिशा में नीचे और फिर वापस, एक मिलीमीटर तक, लगभग एक सेकंड के सौ भागों में से छह भागों जितने समय में खिसकाया जाता है।

10 से 16.3 डिग्री के बीच के 14 कोणों में से हर एक पर, उन्होंने 128 परीक्षण (trials) चलाए। ढलान, दाने, धक्का: सब कुछ एक जैसा, सिवाय दानों की ठीक-ठीक शुरुआती व्यवस्था के, जैसे दो असली ढेरों में जो एक जैसे दिखते हैं। फिर उन्होंने मापा कि ढलान के स्थिर हो जाने के बाद कितना पदार्थ नीचे की ओर खिसक चुका था।

किनारे के जितना पास, फैलाव उतना चौड़ा

12 डिग्री पर, 128 परीक्षणों के परिणाम एक-दूसरे के क़रीब रहते हैं। 16.3 डिग्री पर, वे बेतहाशा अलग होते हैं: कुछ में मुश्किल से कुछ हिलता है, दूसरे औसत से कहीं अधिक पदार्थ बहा ले जाते हैं।

इस ढेर का क्रांतिक कोण लगभग 16.65 डिग्री है। जैसे-जैसे ढलान उसके पास पहुँचती है:

औसत परिवहन (transport) उस कोण तक बची दूरी के लगभग व्युत्क्रमानुपात में बढ़ता है: दूरी आधी कीजिए, औसत दोगुना;
परीक्षणों के बीच का फैलाव, जिसे मानक विचलन (standard deviation) से मापा जाता है, और तेज़ी से बढ़ता है, उस दूरी की घात −1.5 के अनुसार;
इसलिए औसत की तुलना में फैलाव लगातार बढ़ता जाता है, और क्रांतिक कोण के पास वह स्वयं औसत के बराबर पहुँच जाता है और उससे अधिक भी हो सकता है।

बड़ी सिमुलेटेड ढलानों में फैलाव घटता है, मोटे तौर पर लंबाई के वर्गमूल के व्युत्क्रम (एक बटा वर्गमूल) के अनुसार, लेकिन परखे गए हर आकार पर वह क्रांतिक कोण के पास बढ़ता है।

ऊर्जा-संतुलन में संयोग

एक पारंपरिक विवरण बहती परत को एक स्थिर घर्षण वाली परत मानता है। गुरुत्व उसे धकेलता है, घर्षण उसे धीमा करता है, और जब उसकी गतिज ऊर्जा ख़त्म हो जाती है तो वह रुक जाती है। इससे औसत की सही प्रवृत्ति मिलती है — क्रांतिक कोण तक की दूरी के व्युत्क्रम के समानुपाती परिवहन — लेकिन दी गई परिस्थितियों के लिए केवल एक ही उत्तर। यह कोई फैलाव पैदा नहीं कर सकता।

इसलिए लेखकों ने ऊर्जा-संतुलन में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव (random fluctuations) जोड़े: जैसे-जैसे दाने चलते हैं, उन पर किया गया कार्य डगमगाता रहता है, और उसका प्रसरण (variance) तय की गई दूरी के साथ बढ़ता है। बहाव उस पहले क्षण रुकता है जब ऊर्जा शून्य पर पहुँचती है, जिसे प्रथम-आगमन समस्या (first-passage problem) कहते हैं। परिणाम एक सटीक वितरण है, व्युत्क्रम गाउसीय (inverse Gaussian), जिसका फैलाव क्रांतिक कोण तक की दूरी की घात −1.5 के अनुसार बढ़ता है, जो सिमुलेशनों की प्रवृत्ति से मेल खाता है। सभी 14 कोणों पर एक ही बार फ़िट किए जाने पर, यह मॉडल मोटे तौर पर बढ़ते औसत को और बड़ी घटनाओं की लंबी होती पूँछ (tail) को पकड़ लेता है।

कारण सहज है: क्रांतिक कोण के पास, गुरुत्व लगभग ठीक-ठीक घर्षण को संतुलित कर देता है। तब परत छोटे-छोटे यादृच्छिक धक्कों की दया पर होती है।

भूस्खलनों के लिए इसका अर्थ

ये सिमुलेशन दानों के एक आदर्शीकृत ढेर का वर्णन करते हैं, किसी असली पहाड़ी ढलान का नहीं। लेकिन वे संकेत देते हैं कि आंतरिक संरचना में बहुत छोटे अंतर, जो बाहर से दिखाई नहीं देते, मिलती-जुलती ढलानों पर, मिलते-जुलते कंपन में, असली भूस्खलनों का अंत बहुत अलग-अलग करा सकते हैं। लेखकों का निष्कर्ष है कि स्थिरता-सीमा के पास, किसी ढलान के आकलन के लिए संभावित परिणामों का पूरा वितरण चाहिए, और कणीय बहाव (granular flow) के सिद्धांतों में यादृच्छिकता को शामिल करना होगा।