同样的震动，截然不同的滑坡

一堆沙子或砾石在斜坡上可以保持静止，直到坡度达到某个陡度，即它的休止角。在这个临界角以下，一次震动——比如地震——可以让颗粒流动一段时间，然后再停下来。预测在一切重归静止之前有多少物质发生移动，对于理解地貌变化、评估滑坡灾害以及工业中的粉体处理都很重要。

实验早已表明，接近极限的斜坡更容易被触发运动，而且运动随后持续得更久、扩展得更远。但一个更基本的问题此前一直没有答案：如果取一些在所有可见方面都完全相同的斜坡，并以完全相同的方式摇晃它们，结果会有多大差异？

同一次推动，重复128次

大阪大学的Fumiaki Nakai和Yuto Sasaki用追踪每一颗颗粒的计算机模拟回答了这个问题。他们的斜坡由2,273颗颗粒组成，粒径在1.0到1.9毫米之间，静置在一个粗糙的底座上。为了扰动它，他们让底座向下坡方向移动1毫米再移回，整个过程约需百分之六秒。

在10度到16.3度之间的14个角度上，他们每个角度都进行了128次试验。坡度、颗粒、推动：一切都相同，唯一的区别是颗粒的精确初始排列，就像两堆看起来一样的真实沙堆。然后，在斜坡稳定下来之后，他们测量有多少物质向下坡移动了。

越接近边缘，离散越大

在12度时，128次试验的结果彼此接近。在16.3度时，它们相差极大：有的几乎不动，有的带动的物质远远超过平均值。

这堆颗粒的临界角约为16.65度。随着坡度接近这个角度：

• 平均输运量大致与距离该角度的剩余差值成反比增长：差值减半，平均值翻倍；
• 各次试验之间的离散程度（用标准差衡量）增长得更快，与该差值的−1.5次方成正比；
• 因此，相对于平均值的离散程度不断上升，在接近临界角时，它达到甚至可以超过平均值本身。

在更大的模拟斜坡中，离散程度会减小，大致与长度的平方根成反比，但在所测试的每一种尺寸下，它都会在接近临界角时上升。

能量平衡中的随机性

一种经典描述把流动层视为具有恒定摩擦。重力推动它，摩擦减缓它，当它的动能耗尽时就停下来。这给出了平均值的正确趋势——输运量与到临界角距离的倒数成正比——但对于给定条件只有一个答案。它无法产生离散。

于是，作者在能量平衡中加入了随机涨落：颗粒移动时，对它们所做的功会随机抖动，其方差随移动距离增大而增大。流动在能量第一次降到零时停止，这就是所谓的首达时问题（first-passage problem）。结果是一个精确的分布，即逆高斯分布，其离散程度与到临界角距离的−1.5次方成正比，与模拟的趋势一致。用全部14个角度一次性拟合后，该模型大体上捕捉到了不断上升的平均值和大事件那条不断拉长的尾部。

原因很直观：在临界角附近，重力几乎恰好与摩擦相平衡。此时流动层就任由微小的随机扰动摆布。

这对滑坡意味着什么

这些模拟描述的是一堆理想化的颗粒，而不是真实的山坡。但它们表明，从外部无法看出的内部结构的微小差异，可能会使相似斜坡上、在相似震动下发生的真实滑坡结局迥异。作者总结道，在接近稳定极限时，评估一个斜坡需要掌握可能结果的完整分布，而颗粒流理论也需要把随机性纳入其中。