ஒரே அதிர்வு, மிகவும் வேறுபட்ட நிலச்சரிவுகள்

மணல் அல்லது சரளைக் கற்களின் ஒரு குவியல், குறிப்பிட்ட ஒரு சாய்வு வரை ஒரு சரிவில் அசையாமல் இருக்க முடியும்; அதுவே அதன் ஓய்வுக் கோணம் (angle of repose). அந்த மாறுநிலைக் கோணத்துக்குக் கீழே, ஒரு திடீர் அதிர்வு — எடுத்துக்காட்டாக ஒரு நிலநடுக்கம் — துகள்களைச் சிறிது நேரம் பாயச் செய்யலாம்; பிறகு அவை நின்றுவிடுகின்றன. எல்லாம் ஓய்வுக்கு வருவதற்கு முன் எவ்வளவு பொருள் நகர்கிறது என்பதைக் கணிப்பது, நிலவமைப்பு மாற்றங்களுக்கும், நிலச்சரிவு அபாயங்களுக்கும், தொழில்துறையில் பொடிகளைக் கையாள்வதற்கும் முக்கியமானது.

தங்கள் வரம்புக்கு அருகிலுள்ள சரிவுகளை இயக்கத்துக்குக் கொண்டுவருவது எளிது என்றும், அப்போது அந்த இயக்கம் நீண்ட நேரம் நீடித்து மேலும் தொலைவுக்குப் பரவுகிறது என்றும் சோதனைகள் ஏற்கெனவே காட்டியிருந்தன. அதைவிட அடிப்படையான ஒரு கேள்விக்கு விடை கிடைக்கவில்லை: கண்ணுக்குத் தெரியும் எல்லா வகையிலும் ஒன்றுபோலவே இருக்கும் சரிவுகளை எடுத்து, அவற்றைச் சரியாக ஒரே விதத்தில் உலுக்கினால், விளைவு எவ்வளவு மாறுபடும்?

ஒரே தள்ளுதல், 128 முறை

University of Osaka-வைச் சேர்ந்த Fumiaki Nakai, Yuto Sasaki ஆகியோர், ஒவ்வொரு துகளையும் பின்தொடரும் கணினி உருவகப்படுத்தல்களைக் (simulations) கொண்டு அதற்கு விடையளித்தனர். அவர்களின் சரிவில், சொரசொரப்பான ஓர் அடித்தளத்தின் மீது, 1.0 முதல் 1.9 மில்லிமீட்டர் வரை குறுக்களவுள்ள 2,273 துகள்கள் உள்ளன. அதைக் குலைக்க, அவர்கள் அடித்தளத்தை ஒருமுறை, ஒரு மில்லிமீட்டர் அளவுக்கு, ஏறக்குறைய ஒரு வினாடியின் நூறில் ஆறு பங்கு நேரத்தில், சரிவின் கீழ்நோக்கி நகர்த்தித் திரும்பக் கொண்டுவருகிறார்கள்.

10 முதல் 16.3 டிகிரி வரையிலான 14 கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும், அவர்கள் 128 சோதனை ஓட்டங்களை நடத்தினர். சரிவு, துகள்கள், தள்ளுதல்: எல்லாம் ஒன்றுதான் — ஒன்றுபோலத் தோன்றும் இரண்டு உண்மையான குவியல்களில் இருப்பதுபோல, துகள்களின் துல்லியமான தொடக்க அமைப்பு மட்டும் வேறு. சரிவு அமைதியடைந்த பிறகு, எவ்வளவு பொருள் கீழ்நோக்கி நகர்ந்திருந்தது என்பதை அவர்கள் அளந்தனர்.

விளிம்புக்கு எவ்வளவு அருகிலோ, சிதறல் அவ்வளவு அகலம்

12 டிகிரியில், 128 ஓட்டங்களும் ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமான முடிவுகளைத் தருகின்றன. 16.3 டிகிரியில், அவை பெருமளவு வேறுபடுகின்றன: சில அரிதாகவே அசைகின்றன, மற்றவை சராசரியை விட மிக அதிகமாகக் கொண்டுசெல்கின்றன.

இந்தக் குவியலின் மாறுநிலைக் கோணம் ஏறக்குறைய 16.65 டிகிரி. சரிவு அதை நெருங்கும்போது:

• சராசரிப் பெயர்ச்சி (transport), அந்தக் கோணத்துக்கு மீதமுள்ள தொலைவுக்கு ஏறக்குறைய எதிர்விகிதத்தில் வளர்கிறது: தொலைவைப் பாதியாக்கினால், சராசரி இரட்டிப்பாகிறது;
• சோதனை ஓட்டங்களுக்கு இடையிலான, திட்ட விலக்கத்தால் (standard deviation) அளக்கப்படும் சிதறல், இன்னும் வேகமாக வளர்கிறது — அந்தத் தொலைவின் −1.5 அடுக்காக;
• எனவே சராசரியுடன் ஒப்பிடும்போது சிதறல் தொடர்ந்து உயர்கிறது; மாறுநிலைக் கோணத்துக்கு அருகே அது சராசரியையே எட்டி, அதைத் தாண்டவும் கூடும்.

உருவகப்படுத்தப்பட்ட பெரிய சரிவுகளில் சிதறல் சுருங்குகிறது — ஏறக்குறைய நீளத்தின் வர்க்கமூலத்தின் தலைகீழாக — ஆனால் சோதிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு அளவிலும் மாறுநிலைக் கோணத்துக்கு அருகே அது உயர்கிறது.

ஆற்றல் சமநிலையில் தற்செயல்

ஒரு மரபார்ந்த விளக்கம், பாயும் அடுக்கை மாறாத உராய்வுடன் அணுகுகிறது. ஈர்ப்பு அதைத் தள்ளுகிறது, உராய்வு அதை மெதுவாக்குகிறது; அதன் இயக்க ஆற்றல் தீர்ந்ததும் அது நின்றுவிடுகிறது. இது சராசரிக்குச் சரியான போக்கைத் தருகிறது — மாறுநிலைக் கோணத்துக்கான தொலைவின் தலைகீழுக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ள பெயர்ச்சி — ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட நிலைமைகளுக்கு ஒரே ஒரு விடையை மட்டுமே தருகிறது. அதனால் சிதறலை உருவாக்க முடியாது.

எனவே ஆசிரியர்கள் ஆற்றல் சமநிலையில் தற்செயலான ஏற்ற இறக்கங்களைச் (random fluctuations) சேர்த்தனர்: துகள்கள் நகரும்போது, அவற்றின் மீது செய்யப்படும் வேலை தடுமாறுகிறது; அதன் மாறுபாட்டளவு (variance) கடந்த தொலைவுடன் வளர்கிறது. ஆற்றல் முதன்முறையாகப் பூஜ்ஜியத்தைத் தொடும்போது பாய்வு நின்றுவிடுகிறது — இது முதல்-கடப்புப் பிரச்சினை (first-passage problem) எனப்படுகிறது. இதன் முடிவு ஒரு துல்லியமான பரவல்: தலைகீழ் காசியன் (inverse Gaussian); அதன் சிதறல் மாறுநிலைக் கோணத்துக்கான தொலைவின் −1.5 அடுக்காக வளர்கிறது — உருவகப்படுத்தல்களின் போக்குக்கு இசைவாக. 14 கோணங்களுக்கும் ஒரே முறை பொருத்தப்பட்ட இந்த மாதிரி, உயரும் சராசரியையும், பெரிய நிகழ்வுகளின் நீளும் வால் பகுதியையும் பொதுவாகப் பிடித்துவிடுகிறது.

காரணம் உள்ளுணர்வுக்கு எளிதானது: மாறுநிலைக் கோணத்துக்கு அருகே, ஈர்ப்பு உராய்வை ஏறக்குறைய சரியாகச் சமன் செய்கிறது. அப்போது அந்த அடுக்கு சிறிய தற்செயலான உதைகளின் தயவில் இருக்கிறது.

நிலச்சரிவுகளுக்கு இதன் பொருள்

இந்த உருவகப்படுத்தல்கள் ஓர் இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட (idealized) துகள் குவியலை விவரிக்கின்றன, உண்மையான மலைச்சரிவை அல்ல. ஆனால் வெளியிலிருந்து கண்ணுக்குத் தெரியாத, உள் அமைப்பில் உள்ள மிகச் சிறிய வேறுபாடுகள், ஒத்த சரிவுகளில், ஒத்த அதிர்வின் கீழ், உண்மையான நிலச்சரிவுகளை மிகவும் வேறுபட்ட முறையில் முடிவடையச் செய்யக்கூடும் என்று அவை சுட்டுகின்றன. நிலைப்புத்தன்மை வரம்புக்கு அருகே, ஒரு சரிவை மதிப்பிட, சாத்தியமான விளைவுகளின் முழுப் பரவல் தேவை என்றும், துகள் பாய்வுக் கோட்பாடுகள் தற்செயலைத் தம்முள் கொண்டிருக்க வேண்டியிருக்கும் என்றும் ஆசிரியர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள்.