ఒకే కుదుపు, చాలా భిన్నమైన కొండచరియలు

ఇసుక లేదా కంకర కుప్ప ఒక వాలుపై ఒక నిర్దిష్ట ఏటవాలు వరకు కదలకుండా నిలవగలదు, అదే దాని విశ్రాంతి కోణం (angle of repose). ఆ కీలక కోణం (critical angle) కంటే తక్కువలో, ఒక కుదుపు — ఉదాహరణకు ఒక భూకంపం — రేణువులను కొంతసేపు ప్రవహింపజేయగలదు, తర్వాత అవి ఆగిపోతాయి. అంతా నిశ్చలమయ్యే ముందు ఎంత పదార్థం కదులుతుందో అంచనా వేయడం భూదృశ్యాల్లో వచ్చే మార్పులకు, కొండచరియలు విరిగిపడే ప్రమాదాలకు (landslide hazards), పరిశ్రమలో పొడులను నిర్వహించడానికి ముఖ్యం.

తమ పరిమితికి దగ్గరగా ఉన్న వాలులను కదిలించడం సులభమని, ఆ తర్వాత కదలిక ఎక్కువసేపు కొనసాగి మరింత దూరం వ్యాపిస్తుందని ప్రయోగాలు ఇదివరకే చూపించాయి. మరింత మౌలికమైన ఒక ప్రశ్నకు మాత్రం సమాధానం దొరకలేదు: కంటికి కనిపించే ప్రతి విధంగా ఒకేలా ఉన్న వాలులను తీసుకుని, వాటిని సరిగ్గా ఒకే విధంగా కుదిపితే, ఫలితం ఎంతగా మారుతుంది?

ఒకే తోపు, 128 సార్లు

ఒసాకా విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన ఫుమియాకి నకాయ్ (Fumiaki Nakai), యుటో ససాకి (Yuto Sasaki), ప్రతి రేణువునూ అనుసరించే కంప్యూటర్ అనుకరణలతో (simulations) దానికి సమాధానం ఇచ్చారు. వారి వాలులో 2,273 రేణువులు ఉన్నాయి; ఒక్కొక్కటి 1.0 నుంచి 1.9 మిల్లీమీటర్ల వెడల్పు, అన్నీ ఒక గరుకైన ఆధారంపై ఆనుకుని ఉంటాయి. దాన్ని కదిలించడానికి, వారు ఆధారాన్ని ఒక మిల్లీమీటర్ మేర ఒకసారి వాలు కిందికి కదిలించి మళ్లీ వెనక్కి తెస్తారు, దాదాపు సెకనులో ఆరు శతాంశాల (six hundredths) సమయంలో.

10 నుంచి 16.3 డిగ్రీల మధ్య ఉన్న 14 కోణాల్లో ప్రతి దాని వద్ద, వారు 128 ప్రయత్నాలు (trials) నడిపారు. వాలు, రేణువులు, తోపు: అన్నీ ఒకేలా, రేణువుల ఖచ్చితమైన ప్రారంభ అమరిక తప్ప — ఒకేలా కనిపించే రెండు నిజమైన కుప్పల్లో లాగా. తర్వాత, వాలు స్థిరపడిన తర్వాత ఎంత పదార్థం కిందికి కదిలిందో వారు కొలిచారు.

అంచుకు ఎంత దగ్గరైతే, వ్యాప్తి అంత ఎక్కువ

12 డిగ్రీల వద్ద, 128 ప్రయత్నాలు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ముగుస్తాయి. 16.3 డిగ్రీల వద్ద, అవి విపరీతంగా భిన్నంగా ఉంటాయి: కొన్ని దాదాపు కదలవు, మరికొన్ని సగటు కంటే చాలా ఎక్కువ పదార్థాన్ని తీసుకెళ్తాయి.

ఈ కుప్ప కీలక కోణం దాదాపు 16.65 డిగ్రీలు. వాలు దాన్ని సమీపిస్తున్న కొద్దీ:

• సగటు రవాణా (transport), ఆ కోణానికి మిగిలి ఉన్న దూరానికి దాదాపు విలోమానుపాతంలో పెరుగుతుంది: దూరాన్ని సగం చేస్తే, సగటు రెట్టింపవుతుంది;
• ప్రయత్నాల మధ్య వ్యాప్తి, ప్రామాణిక విచలనంతో (standard deviation) కొలిచినది, ఇంకా వేగంగా పెరుగుతుంది, ఆ దూరపు −1.5 ఘాతంగా (power);
• కాబట్టి సగటుతో పోలిస్తే వ్యాప్తి పెరుగుతూనే ఉంటుంది, కీలక కోణానికి దగ్గరలో అది సగటును చేరుకుంటుంది, దాన్ని మించిపోగలదు కూడా.

పెద్ద అనుకరణ వాలుల్లో వ్యాప్తి తగ్గుతుంది, దాదాపు పొడవు వర్గమూలానికి విలోమంగా, కానీ పరీక్షించిన ప్రతి పరిమాణంలోనూ కీలక కోణానికి దగ్గరలో అది పెరుగుతుంది.

శక్తి సమతుల్యతలో యాదృచ్ఛికత

ఒక సంప్రదాయ వర్ణన ప్రవహించే పొరను స్థిరమైన ఘర్షణతో (friction) పరిగణిస్తుంది. గురుత్వాకర్షణ దాన్ని నెడుతుంది, ఘర్షణ దాన్ని నెమ్మదింపజేస్తుంది, దాని గతిశక్తి (kinetic energy) అయిపోయినప్పుడు అది ఆగిపోతుంది. ఇది సగటుకు సరైన ధోరణిని ఇస్తుంది — కీలక కోణానికి ఉన్న దూరానికి విలోమానుపాతంలో ఉండే రవాణా — కానీ ఇచ్చిన పరిస్థితులకు ఒకే ఒక్క సమాధానాన్ని ఇస్తుంది. అది వ్యాప్తిని సృష్టించలేదు.

అందుకే రచయితలు శక్తి సమతుల్యతకు యాదృచ్ఛిక హెచ్చుతగ్గులను (random fluctuations) జోడించారు: రేణువులు కదులుతున్నప్పుడు, వాటిపై జరిగే పని (work) ఒడిదొడుకులకు లోనవుతుంది, దాని వ్యత్యాసం (variance) ప్రయాణించిన దూరంతో పాటు పెరుగుతుంది. శక్తి మొదటిసారి సున్నాను తాకినప్పుడు ప్రవాహం ఆగిపోతుంది — దీన్ని మొదటి-చేరిక సమస్య (first-passage problem) అంటారు. ఫలితం ఒక ఖచ్చితమైన పంపిణీ (distribution), విలోమ గాస్సియన్ (inverse Gaussian); దాని వ్యాప్తి కీలక కోణానికి ఉన్న దూరపు −1.5 ఘాతంగా పెరుగుతుంది, అనుకరణల ధోరణికి అనుగుణంగా. మొత్తం 14 కోణాలకు ఒక్కసారి సరిపోల్చినప్పుడు (fitted), ఈ నమూనా పెరుగుతున్న సగటును, పెద్ద సంఘటనల సాగుతున్న తోకను (tail) స్థూలంగా పట్టుకుంటుంది.

కారణం సహజంగానే అర్థమవుతుంది: కీలక కోణానికి దగ్గరలో, గురుత్వాకర్షణ దాదాపు సరిగ్గా ఘర్షణను సమతుల్యం చేస్తుంది. అప్పుడు పొర చిన్న చిన్న యాదృచ్ఛిక తాకిడుల దయపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కొండచరియలకు దీని అర్థం

ఈ అనుకరణలు ఆదర్శీకరించిన ఒక రేణువుల కుప్పను వర్ణిస్తాయి, నిజమైన పర్వత వాలును కాదు. కానీ బయటి నుంచి కనిపించని, అంతర్గత నిర్మాణంలోని అతి చిన్న తేడాల వల్ల, ఒకేలాంటి వాలులపై, ఒకేలాంటి కుదుపుతో, నిజమైన కొండచరియలు చాలా భిన్నంగా ముగియవచ్చని అవి సూచిస్తాయి. స్థిరత్వ పరిమితికి దగ్గరలో, ఒక వాలును అంచనా వేయడానికి సాధ్యమయ్యే ఫలితాల పూర్తి పంపిణీ అవసరమని, రేణు ప్రవాహ (granular flow) సిద్ధాంతాల్లో యాదృచ్ఛికతను అంతర్నిర్మితంగా చేర్చాల్సి ఉంటుందని రచయితలు నిర్ధారిస్తున్నారు.