الهزّة نفسها، وانهيارات مختلفة تمامًا
يمكن لكومة من الرمل أو الحصى أن تستقر على منحدر حتى درجة معينة من الانحدار، هي زاوية الاستقرار (angle of repose). ودون هذه الزاوية الحرجة، يمكن لهزّة — زلزال مثلًا — أن تجعل الحبيبات تتدفق بعض الوقت قبل أن تتوقف. والتنبؤ بكمية المادة التي تتحرك قبل أن يسكن كل شيء أمرٌ مهم لتغيّرات التضاريس، ولتقدير مخاطر الانهيارات الأرضية، ولمناولة المساحيق في الصناعة.
كانت التجارب قد أظهرت بالفعل أن المنحدرات القريبة من حدّها أسهل في التحريك، وأن الحركة حينها تدوم أطول وتمتد أبعد. لكن سؤالًا أبسط بقي بلا جواب: إذا أخذنا منحدرات متطابقة في كل ما يُرى منها، وهززناها بالطريقة نفسها تمامًا، فإلى أي حدّ تتباين النتيجة؟
دفعة واحدة، 128 مرة
أجاب فوميآكي ناكاي (Fumiaki Nakai) ويوتو ساساكي (Yuto Sasaki)، من جامعة أوساكا، عن هذا السؤال بمحاكاة حاسوبية تتتبّع كل حبيبة. ويضم المنحدر في المحاكاة 2,273 حبيبة يتراوح قطرها بين 1.0 و1.9 مليمتر، مستقرة على قاعدة خشنة. ولإحداث الاضطراب، تُحرَّك القاعدة نحو أسفل المنحدر ثم تُعاد مرة واحدة، مسافة مليمتر واحد، في نحو ستة أجزاء من مئة من الثانية.
وعند كل زاوية من 14 زاوية بين 10 و16.3 درجة، أُجريت 128 محاولة. المنحدر والحبيبات والدفعة: كل شيء متطابق، باستثناء الترتيب الابتدائي الدقيق للحبيبات، كما في كومتين حقيقيتين تبدوان متماثلتين. ثم قيست كمية المادة التي تحركت نحو الأسفل بعد أن استقر المنحدر.
كلما اقتربنا من الحافة، اتسع التشتت
عند 12 درجة، تنتهي المحاولات الـ128 إلى نتائج متقاربة. أما عند 16.3 درجة، فتختلف اختلافًا كبيرًا: بعضها بالكاد يتحرك، وبعضها ينقل أكثر من المتوسط بكثير.
والزاوية الحرجة لهذه الكومة نحو 16.65 درجة. ومع اقتراب المنحدر منها:
- يزداد متوسط النقل تقريبًا بالتناسب العكسي مع المسافة المتبقية حتى تلك الزاوية: إذا انخفضت المسافة إلى النصف، تضاعف المتوسط؛
- يزداد التشتت بين المحاولات، مقيسًا بالانحراف المعياري، أسرع، كتلك المسافة مرفوعةً إلى القوة −1.5؛
- ولذا يواصل التشتت نسبةً إلى المتوسط الارتفاع، وقرب الزاوية الحرجة يبلغ المتوسط نفسه بل قد يتجاوزه.
وفي المنحدرات المحاكاة الأكبر، يتقلص التشتت، تقريبًا كواحد على الجذر التربيعي للطول، لكنه يرتفع قرب الزاوية الحرجة في كل الأحجام المختبرة.
المصادفة في ميزان الطاقة
يعامل وصفٌ كلاسيكي الطبقةَ المتدفقة باحتكاك ثابت. فالجاذبية تدفعها، والاحتكاك يبطئها، وتتوقف حين تنفد طاقتها الحركية. ويعطي هذا الاتجاهَ الصحيح للمتوسط — نقلًا يتناسب مع واحد على المسافة إلى الزاوية الحرجة — لكنه لا يعطي إلا جوابًا واحدًا لظروف معينة. ولا يمكنه أن ينتج تشتتًا.
لذلك أضاف البحث تقلبات عشوائية إلى ميزان الطاقة: فمع تحرك الحبيبات، يتذبذب الشغل المبذول عليها، بتباين يزداد مع المسافة المقطوعة. ويتوقف التدفق في أول مرة تبلغ فيها الطاقة الصفر، وهي ما يُسمّى مسألة المرور الأول (first-passage problem). والنتيجة توزيع محدد، هو التوزيع الغاوسي العكسي (inverse Gaussian)، يزداد تشتته كالمسافة إلى الزاوية الحرجة مرفوعةً إلى القوة −1.5، بما يتسق مع اتجاه المحاكاة. وعند ملاءمته مرة واحدة على الزوايا الـ14 كلها، يلتقط النموذج على نحو عام ارتفاع المتوسط وامتداد ذيل الأحداث الكبيرة.
والسبب بديهي: قرب الزاوية الحرجة، توازن الجاذبية الاحتكاكَ توازنًا شبه تام. فتصبح الطبقة حينها تحت رحمة ركلات عشوائية صغيرة.
ماذا يعني ذلك للانهيارات الأرضية
تصف المحاكاة كومة مثالية من الحبيبات، لا سفح جبل حقيقيًا. لكنها توحي بأن فروقًا ضئيلة في البنية الداخلية، غير مرئية من الخارج، قد تجعل انهيارات أرضية حقيقية على منحدرات متشابهة، وتحت هزّات متشابهة، تنتهي على نحو مختلف جدًا. ويخلص البحث إلى أنه قرب حدّ الاستقرار، يتطلب تقييم منحدر ما التوزيع الكامل للنتائج الممكنة، وأن نظريات التدفق الحبيبي ستحتاج إلى إدخال العشوائية في صلبها.