لرزشی یکسان، زمین‌لغزش‌هایی بسیار متفاوت
تلی از ماسه یا شن می‌تواند روی یک شیب تا شیبی معین بی‌حرکت بماند، یعنی زاویهٔ قرارش (angle of repose). زیر این زاویهٔ بحرانی، یک تکان — مثلاً یک زمین‌لرزه — می‌تواند دانه‌ها را برای مدتی روان کند پیش از آنکه بایستند. پیش‌بینی اینکه پیش از آرام گرفتن همه‌چیز چه مقدار ماده جابه‌جا می‌شود، برای دگرگونی‌های چشم‌انداز، برای خطر زمین‌لغزش و برای جابه‌جایی پودرها در صنعت اهمیت دارد.
آزمایش‌ها پیش‌تر نشان داده بودند که شیب‌های نزدیک به حدشان آسان‌تر به حرکت درمی‌آیند، و حرکت سپس بیشتر طول می‌کشد و دورتر می‌رود. پرسشی بنیادی‌تر بی‌پاسخ مانده بود: اگر شیب‌هایی را که از هر نظرِ دیدنی یکسان‌اند برداریم و دقیقاً به یک شکل بلرزانیم، نتیجه چقدر تغییر می‌کند؟
یک تکان، 128 بار
فومیاکی ناکای (Fumiaki Nakai) و یوتو ساساکی (Yuto Sasaki)، از دانشگاه اوساکا، با شبیه‌سازی‌های رایانه‌ای‌ای که تک‌تک دانه‌ها را دنبال می‌کنند به آن پاسخ دادند. شیب آن‌ها 2,273 دانه به قطر 1.0 تا 1.9 میلی‌متر را روی کفی زبر نگه می‌دارد. برای برهم زدنش، کف را یک بار، به اندازهٔ یک میلی‌متر، در حدود شش‌صدم ثانیه به سمت پایین شیب و بازگشت حرکت می‌دهند.
در هر یک از 14 زاویه میان 10 و 16.3 درجه، 128 آزمایش اجرا کردند. شیب، دانه‌ها، تکان: همه‌چیز یکسان، جز چیدمان آغازین دقیق دانه‌ها، مانند دو تل واقعی که یکسان به نظر می‌رسند. سپس اندازه گرفتند که پس از آرام گرفتن شیب، چه مقدار ماده به پایین جابه‌جا شده است.
هرچه به لبه نزدیک‌تر، پراکندگی بیشتر
در 12 درجه، 128 آزمایش به نتایجی نزدیک به هم می‌رسند. در 16.3 درجه، به‌شدت با هم تفاوت دارند: برخی به‌زحمت حرکت می‌کنند، برخی دیگر بسیار بیش از میانگین ماده جابه‌جا می‌کنند.
زاویهٔ بحرانی این تل حدود 16.65 درجه است. با نزدیک شدن شیب به آن:
- میانگین جابه‌جایی تقریباً به نسبت وارون فاصلهٔ باقی‌مانده تا آن زاویه رشد می‌کند: فاصله را نصف کنید، میانگین دو برابر می‌شود؛
- پراکندگی میان آزمایش‌ها، که با انحراف معیار سنجیده می‌شود، سریع‌تر رشد می‌کند، به‌صورت همان فاصله به توان −1.5؛
- پس پراکندگی نسبت به میانگین پیوسته بالا می‌رود، و نزدیک زاویهٔ بحرانی به خود میانگین می‌رسد و می‌تواند از آن فراتر رود.
در شیب‌های شبیه‌سازی‌شدهٔ بزرگ‌تر، پراکندگی کوچک‌تر می‌شود، تقریباً به‌صورت یک بر ریشهٔ دوم طول، اما در همهٔ اندازه‌های آزموده‌شده نزدیک زاویهٔ بحرانی بالا می‌رود.
تصادف در موازنهٔ انرژی
یک توصیف کلاسیک لایهٔ روان را با اصطکاکی ثابت در نظر می‌گیرد. گرانش آن را می‌راند، اصطکاک کندش می‌کند، و وقتی انرژی جنبشی‌اش تمام شود می‌ایستد. این توصیف روند درست میانگین را به دست می‌دهد — جابه‌جایی‌ای متناسب با یک بر فاصله تا زاویهٔ بحرانی — اما برای شرایط معین تنها یک پاسخ دارد. نمی‌تواند پراکندگی پدید آورد.
پس نویسندگان افت‌وخیزهای تصادفی (random fluctuations) را به موازنهٔ انرژی افزودند: با حرکت دانه‌ها، کاری که روی آن‌ها انجام می‌شود نوسان می‌کند، با واریانسی که با مسافت پیموده‌شده رشد می‌کند. جریان نخستین باری که انرژی به صفر برسد می‌ایستد، که به آن مسئلهٔ نخستین گذر (first-passage) می‌گویند. نتیجه توزیعی دقیق است، یک توزیع گاوسی وارون (inverse Gaussian)، که پراکندگی‌اش به‌صورت فاصله تا زاویهٔ بحرانی به توان −1.5 رشد می‌کند، هماهنگ با روند شبیه‌سازی‌ها. این مدل، که یک بار برای هر 14 زاویه برازش شده، به‌طور کلی میانگینِ رو به افزایش و کشیده شدن دنبالهٔ رویدادهای بزرگ را بازتولید می‌کند.
دلیلش شهودی است: نزدیک زاویهٔ بحرانی، گرانش تقریباً دقیقاً با اصطکاک برابری می‌کند. آنگاه لایه در برابر تکان‌های تصادفی کوچک بی‌دفاع است.
معنایش برای زمین‌لغزش‌ها
این شبیه‌سازی‌ها تلی آرمانی از دانه‌ها را توصیف می‌کنند، نه دامنهٔ واقعی یک کوه را. اما نشان می‌دهند که تفاوت‌های بسیار کوچک در ساختار درونی، که از بیرون دیده نمی‌شوند، می‌توانند باعث شوند زمین‌لغزش‌های واقعی روی شیب‌های مشابه، زیر لرزش‌های مشابه، سرانجام‌هایی بسیار متفاوت داشته باشند. به جمع‌بندی نویسندگان، نزدیک حد پایداری، ارزیابی یک شیب به توزیع کامل پیامدهای ممکن نیاز دارد، و نظریه‌های جریان دانه‌ای باید تصادف را در خود بگنجانند.