तोच धक्का, अगदी वेगवेगळी भूस्खलने

वाळू किंवा खडीचा ढीग उतारावर एका विशिष्ट तीव्रतेपर्यंत, म्हणजे त्याच्या स्थिरता कोनापर्यंत (angle of repose), स्थिर राहू शकतो. त्या क्रांतिक कोनाखाली, एखादा धक्का — उदाहरणार्थ भूकंप — कणांना काही काळ वाहते करू शकतो, आणि मग ते थांबतात. सर्व काही स्थिरावण्यापूर्वी किती पदार्थ सरकतो याचे भाकीत करणे भूदृश्यांतील बदलांसाठी, भूस्खलनाच्या धोक्यांसाठी आणि उद्योगात भुकटी हाताळण्यासाठी महत्त्वाचे आहे.

प्रयोगांनी आधीच दाखवले होते की आपल्या मर्यादेजवळ असलेले उतार सहज हालचालीत येतात, आणि मग ती हालचाल अधिक काळ टिकते आणि अधिक दूरवर पसरते. एका अधिक मूलभूत प्रश्नाचे उत्तर मात्र मिळाले नव्हते: दिसण्यात सर्व बाबतींत एकसारखे असलेले उतार घेऊन त्यांना अगदी त्याच प्रकारे हलवले, तर परिणाम किती बदलतो?

एक धक्का, 128 वेळा

University of Osaka मधील Fumiaki Nakai आणि Yuto Sasaki यांनी प्रत्येक कणाचा माग घेणाऱ्या संगणकीय सिम्युलेशनद्वारे त्याचे उत्तर दिले. त्यांच्या उतारावर 2,273 कण आहेत, 1.0 ते 1.9 मिलिमीटर व्यासाचे, एका खडबडीत तळावर विसावलेले. त्याला विचलित करण्यासाठी, ते तळ एकदा उताराच्या दिशेने खाली आणि परत, एक मिलिमीटरने, सेकंदाच्या सुमारे सहा शतांशांत हलवतात.

10 ते 16.3 अंशांदरम्यानच्या 14 कोनांपैकी प्रत्येकावर त्यांनी 128 चाचण्या केल्या. उतार, कण, धक्का: सर्व काही एकसारखे, फक्त कणांची नेमकी सुरुवातीची मांडणी वगळता, जसे एकसारख्या दिसणाऱ्या दोन खऱ्या ढिगांमध्ये. त्यानंतर उतार स्थिरावल्यावर किती पदार्थ उताराच्या दिशेने खाली सरकला होता हे त्यांनी मोजले.

कडेच्या जितके जवळ, तितका प्रसार मोठा

12 अंशांवर, 128 चाचण्यांचे परिणाम एकमेकांच्या जवळ येतात. 16.3 अंशांवर ते प्रचंड वेगळे असतात: काही जेमतेम हलतात, तर इतर सरासरीपेक्षा कितीतरी अधिक पदार्थ वाहून नेतात.

या ढिगाचा क्रांतिक कोन सुमारे 16.65 अंश आहे. उतार त्याच्या जवळ जाताना:

सरासरी वहन त्या कोनापर्यंत उरलेल्या अंतराच्या साधारण व्यस्त प्रमाणात वाढते: अंतर निम्मे करा, सरासरी दुप्पट होते;
चाचण्यांमधील प्रसार, प्रमाण विचलनाने (standard deviation) मोजलेला, अधिक वेगाने वाढतो, त्या अंतराच्या −1.5 घाताप्रमाणे;
त्यामुळे सरासरीच्या तुलनेत प्रसार वाढतच राहतो, आणि क्रांतिक कोनाजवळ तो स्वतः सरासरीइतका होतो आणि तिच्याहूनही अधिक होऊ शकतो.

अधिक मोठ्या सिम्युलेटेड उतारांमध्ये प्रसार कमी होतो, साधारणपणे लांबीच्या वर्गमुळाच्या व्यस्त प्रमाणात, पण चाचणी केलेल्या प्रत्येक आकारात तो क्रांतिक कोनाजवळ वाढतो.

ऊर्जेच्या ताळेबंदातील यादृच्छिकता

एक अभिजात वर्णन वाहत्या थराला स्थिर घर्षणासह हाताळते. गुरुत्व त्याला ढकलते, घर्षण त्याला मंदावते, आणि त्याची गतिज ऊर्जा संपल्यावर तो थांबतो. यातून सरासरीसाठी योग्य कल मिळतो — क्रांतिक कोनापर्यंतच्या अंतराच्या व्यस्त प्रमाणात असलेले वहन — पण दिलेल्या परिस्थितीसाठी केवळ एकच उत्तर. त्यातून प्रसार निर्माण होऊ शकत नाही.

म्हणून लेखकांनी ऊर्जेच्या ताळेबंदात यादृच्छिक चढउतार (random fluctuations) जोडले: कण सरकत असताना त्यांच्यावर केले जाणारे कार्य थरथरते, आणि त्याचे विचरण (variance) कापलेल्या अंतरासोबत वाढते. ऊर्जा पहिल्यांदा शून्यावर पोहोचते तेव्हा प्रवाह थांबतो — ही तथाकथित प्रथम-पारगमन समस्या (first-passage problem). परिणाम म्हणजे एक नेमके वितरण, व्यस्त गाऊसीय वितरण (inverse Gaussian), ज्याचा प्रसार क्रांतिक कोनापर्यंतच्या अंतराच्या −1.5 घाताप्रमाणे वाढतो, सिम्युलेशनमधील कलाशी सुसंगत. सर्व 14 कोनांवर एकदाच जुळवल्यावर, हे प्रारूप वाढती सरासरी आणि मोठ्या घटनांची लांबत जाणारी शेपटी स्थूलमानाने टिपते.

कारण सहज लक्षात येणारे आहे: क्रांतिक कोनाजवळ गुरुत्व घर्षणाला जवळजवळ नेमके संतुलित करते. मग हा थर छोट्या यादृच्छिक धक्क्यांच्या दयेवर असतो.

भूस्खलनांसाठी याचा अर्थ

ही सिम्युलेशन्स कणांच्या एका आदर्श ढिगाचे वर्णन करतात, खऱ्या डोंगरउताराचे नव्हे. पण ती सुचवतात की बाहेरून न दिसणारे, अंतर्गत रचनेतील सूक्ष्म फरक, सारख्या उतारांवर, सारख्या हादऱ्यांखाली, खऱ्या भूस्खलनांचा शेवट अगदी वेगळ्या प्रकारे घडवू शकतात. स्थिरतेच्या मर्यादेजवळ, लेखक निष्कर्ष काढतात, उताराचे मूल्यमापन करण्यासाठी संभाव्य परिणामांचे संपूर्ण वितरण आवश्यक आहे, आणि कणीय प्रवाहाच्या सिद्धांतांमध्ये यादृच्छिकता अंतर्भूत करावी लागेल.