同じ揺れで、まったく違う地すべり

砂や砂利の山は、ある急さまでは斜面の上で静止していられる。これが安息角だ。その臨界角より緩い斜面でも、揺れ（たとえば地震）が加わると、粒はしばらく流れてから止まる。すべてが静止するまでにどれだけの物質が動くかを予測することは、地形の変化や地すべりの危険、さらに工業での粉体の取り扱いにとって重要だ。

限界に近い斜面ほど動き出しやすく、いったん動くとより長く続き、より遠くまで広がることは、すでに実験で示されていた。だが、もっと基本的な問いには答えが出ていなかった。見た目ではまったく区別できない斜面を、まったく同じように揺らしたら、結果はどれほどばらつくのか。

1つの一押しを128回

大阪大学のFumiaki NakaiとYuto Sasakiは、すべての粒を追跡するコンピューターシミュレーションでこの問いに答えた。2人の斜面は、直径1.0〜1.9ミリメートルの2,273個の粒からなり、ざらざらした底面の上に載っている。斜面を乱すため、底面を斜面の下方へ1ミリメートル動かして戻す。これを1回、約100分の6秒で行う。

10度から16.3度までの14の角度それぞれで、2人は128回の試行を行った。斜面も粒も一押しも、すべて同じだ。違うのは粒の正確な初期配置だけで、見た目が同じ2つの現実の砂山のようなものである。そして斜面が落ち着いたあとで、どれだけの物質が斜面の下方へ動いたかを測った。

縁に近いほど、ばらつきは広がる

12度では、128回の試行の結果は互いに近い。16.3度では大きく食い違う。ほとんど動かないものもあれば、平均よりはるかに多くを運ぶものもある。

この粒の山の臨界角は約16.65度だ。斜面がそこに近づくと、次のことが起きる。

平均の輸送量は、その角度までの残りの距離にほぼ反比例して増える。距離が半分になれば、平均は2倍になる。
試行間のばらつき（標準偏差で測る）は、それより速く、その距離の−1.5乗に比例して増える。
そのため、平均に対するばらつきは上がり続け、臨界角の近くでは平均そのものに達し、それを上回ることもある。

より大きな斜面のシミュレーションでは、ばらつきは縮む。おおよそ長さの平方根に反比例してだ。それでも、試したどの大きさでも、臨界角の近くでばらつきは増大した。

エネルギー収支の中の偶然

古典的な記述では、流れる層を一定の摩擦で扱う。重力が層を押し、摩擦が減速させ、運動エネルギーが尽きると層は止まる。これで平均については正しい傾向、つまり臨界角までの距離に反比例する輸送量が得られる。だが、与えられた条件に対して答えは1つしかない。ばらつきは生み出せないのだ。

そこで著者らは、エネルギー収支にランダムなゆらぎを加えた。粒が動くにつれて、粒になされる仕事が揺れ動き、その分散は移動距離とともに大きくなる。流れは、エネルギーが初めてゼロになった時点で止まる。いわゆる初通過問題だ。その結果、逆ガウス分布という厳密な分布が得られ、そのばらつきは臨界角までの距離の−1.5乗に比例して増える。これはシミュレーションの傾向と一致する。14の角度すべてに一度だけ当てはめると、このモデルは平均の増加と、大きな事象の裾が伸びていくようすを大筋でとらえる。

理由は直感的だ。臨界角の近くでは、重力と摩擦がほぼ正確に釣り合っている。そのため層は、小さなランダムな衝撃のなすがままになる。

地すべりにとっての意味

このシミュレーションが描くのは理想化された粒の山であり、現実の山腹ではない。だが結果は、外からは見えない内部構造のわずかな違いによって、似た斜面で似た揺れを受けた現実の地すべりが、まったく違う結末を迎えうることを示唆している。著者らの結論によれば、安定限界の近くで斜面を評価するには、起こりうる結果の分布全体が必要であり、粒状体の流れの理論には偶然を組み込む必要がある。