ОДИН И ТОТ ЖЕ ТОЛЧОК — СОВСЕМ РАЗНЫЕ ОПОЛЗНИ

Куча песка или гравия может неподвижно лежать на склоне до определённой крутизны — своего угла естественного откоса. Ниже этого критического угла толчок — например, землетрясение — может заставить зёрна течь какое-то время, прежде чем они остановятся. Предсказать, сколько материала сдвинется, прежде чем всё придёт в покой, важно для понимания изменений ландшафта, для оценки опасности оползней и для работы с порошками в промышленности.

Эксперименты уже показали, что склоны, близкие к своему пределу, легче привести в движение и что движение затем длится дольше и распространяется дальше. Более простой вопрос оставался без ответа: если взять склоны, одинаковые во всём, что видно глазу, и встряхнуть их совершенно одинаково, насколько будет различаться результат?

Один толчок, 128 раз

Фумиаки Накаи (Fumiaki Nakai) и Юто Сасаки (Yuto Sasaki) из Осакского университета ответили на него с помощью компьютерного моделирования, отслеживающего каждое зерно. Их склон состоит из 2273 зёрен размером от 1,0 до 1,9 миллиметра, лежащих на шероховатом основании. Чтобы возмутить склон, они один раз сдвигают основание вниз по склону и обратно на один миллиметр примерно за шесть сотых секунды.

Для каждого из 14 углов от 10 до 16,3 градуса они провели 128 испытаний. Склон, зёрна, толчок — всё одинаково, кроме точного начального расположения зёрен, как у двух настоящих куч, которые выглядят одинаково. Затем они измеряли, сколько материала сместилось вниз по склону, когда склон успокоился.

Чем ближе к краю, тем шире разброс

При 12 градусах результаты 128 испытаний близки друг к другу. При 16,3 градуса они различаются очень сильно: в одних зёрна почти не сдвигаются, в других переносится гораздо больше среднего.

Критический угол этой кучи — около 16,65 градуса. По мере того как наклон приближается к нему:

• средний перенос растёт примерно обратно пропорционально оставшемуся до этого угла расстоянию: уменьшите расстояние вдвое — среднее удвоится;
• разброс между испытаниями, измеряемый стандартным отклонением, растёт быстрее — как это расстояние в степени −1,5;
• поэтому разброс относительно среднего продолжает увеличиваться, и вблизи критического угла он достигает самого среднего и может его превысить.

В более крупных смоделированных склонах разброс уменьшается — примерно как единица, делённая на квадратный корень из длины, — но вблизи критического угла он растёт при всех проверенных размерах.

Случайность в балансе энергии

Классическое описание рассматривает текущий слой с постоянным трением. Гравитация толкает его, трение тормозит, и он останавливается, когда иссякает его кинетическая энергия. Это даёт правильную тенденцию для среднего — перенос, пропорциональный единице, делённой на расстояние до критического угла, — но лишь один ответ для заданных условий. Разброс такая модель дать не может.

Поэтому авторы добавили в баланс энергии случайные флуктуации: пока зёрна движутся, совершаемая над ними работа колеблется, и её дисперсия растёт с пройденным расстоянием. Поток останавливается в тот момент, когда энергия впервые обращается в ноль, — это так называемая задача о первом достижении (first-passage problem). В результате получается точное распределение — обратное гауссово, — разброс которого растёт как расстояние до критического угла в степени −1,5, в согласии с тенденцией, полученной в моделировании. Подогнанная один раз сразу ко всем 14 углам, модель в целом воспроизводит и растущее среднее, и вытягивающийся хвост крупных событий.

Причина интуитивно понятна: вблизи критического угла гравитация почти точно уравновешивает трение. И тогда слой оказывается во власти маленьких случайных толчков.

Что это значит для оползней

Моделирование описывает идеализированную кучу зёрен, а не настоящий горный склон. Но оно наводит на мысль, что крошечные различия во внутренней структуре, невидимые снаружи, могут приводить к тому, что настоящие оползни на похожих склонах при похожих сотрясениях заканчиваются совершенно по-разному. Вблизи предела устойчивости, заключают авторы, для оценки склона нужно полное распределение возможных исходов, а теориям гранулярных течений придётся учитывать случайность.