AYNI SARSINTI, ÇOK FARKLI HEYELANLAR

Bir kum ya da çakıl yığını, belli bir dikliğe, yani yığılma açısına (angle of repose) kadar bir yamaçta hareketsiz durabilir. Bu kritik açının altında bir sarsıntı — örneğin bir deprem — taneleri bir süre akıtabilir, ardından taneler durur. Her şey yeniden durgunlaşmadan önce ne kadar malzemenin yer değiştirdiğini öngörmek; yeryüzü şekillerindeki değişimler, heyelan tehlikeleri ve endüstride tozların işlenmesi açısından önemlidir.

Deneyler, sınırlarına yakın yamaçların daha kolay harekete geçtiğini, hareketin de daha uzun sürüp daha uzağa yayıldığını zaten göstermişti. Daha temel bir soru ise yanıtsız kalmıştı: görünür her açıdan özdeş yamaçları alıp tıpatıp aynı biçimde sarsarsanız, sonuç ne kadar değişir?

Tek bir itiş, 128 kez

Osaka Üniversitesi’nden Fumiaki Nakai ve Yuto Sasaki, bu soruyu her taneyi tek tek izleyen bilgisayar simülasyonlarıyla yanıtladı. Yamaçlarında, çapları 1,0 ile 1,9 milimetre arasında değişen 2.273 tane pürüzlü bir tabanın üzerinde duruyor. Yamacı bozmak için tabanı bir kez, bir milimetre kadar yokuş aşağı ve geri hareket ettiriyorlar; bu, saniyenin yaklaşık yüzde altısı kadar sürüyor.

10 ile 16,3 derece arasındaki 14 açının her birinde 128 deneme yaptılar. Yamaç, taneler, itiş: tanelerin tam başlangıç dizilişi dışında her şey aynıydı — tıpkı aynı görünen iki gerçek yığında olduğu gibi. Ardından, yamaç durulduğunda ne kadar malzemenin yokuş aşağı hareket etmiş olduğunu ölçtüler.

Sınıra ne kadar yakınsa, saçılım o kadar geniş

12 derecede, 128 deneme birbirine yakın sonuçlarla biter. 16,3 derecede ise sonuçlar çok farklıdır: bazıları neredeyse kıpırdamaz, diğerleri ortalamadan çok daha fazla malzeme taşır.

Bu yığının kritik açısı yaklaşık 16,65 derecedir. Yamaç bu açıya yaklaştıkça:

• ortalama taşınım, bu açıya kalan uzaklıkla kabaca ters orantılı olarak büyür: uzaklığı yarıya indirin, ortalama iki katına çıkar;
• standart sapmayla ölçülen, denemeler arasındaki saçılım daha hızlı büyür: o uzaklığın −1,5’inci kuvveti gibi;
• dolayısıyla saçılım ortalamaya göre artmaya devam eder ve kritik açının yakınında ortalamanın kendisine ulaşır, hatta onu aşabilir.

Simüle edilen daha büyük yamaçlarda saçılım küçülür, kabaca bir bölü uzunluğun karekökü gibi; ama denenen her boyutta kritik açının yakınında yükselir.

Enerji dengesinde rastlantı

Klasik bir tanımlama, akan tabakayı sabit bir sürtünmeyle ele alır. Yerçekimi onu iter, sürtünme yavaşlatır ve kinetik enerjisi tükendiğinde durur. Bu, ortalama için doğru eğilimi verir — kritik açıya olan uzaklığın tersiyle orantılı bir taşınım — ama verilen koşullar için yalnızca tek bir yanıt üretir. Bir saçılım üretemez.

Bu yüzden yazarlar enerji dengesine rastgele dalgalanmalar ekledi: taneler hareket ettikçe üzerlerine yapılan iş dalgalanır ve bu dalgalanmanın varyansı kat edilen mesafeyle artar. Akış, enerji ilk kez sıfıra ulaştığında durur; bu, ilk geçiş problemi (first-passage problem) denen bir sorundur. Sonuç kesin bir dağılımdır, bir ters Gauss dağılımı (inverse Gaussian); saçılımı, simülasyonların eğilimiyle uyumlu olarak kritik açıya olan uzaklığın −1,5’inci kuvveti gibi büyür. 14 açının tümüne tek seferde uydurulan model, artan ortalamayı ve büyük olayların uzayan kuyruğunu genel hatlarıyla yakalıyor.

Nedeni sezgisel: kritik açının yakınında yerçekimi sürtünmeyi neredeyse tam olarak dengeler. Tabaka o zaman küçük rastgele itkilerin insafına kalır.

Heyelanlar için anlamı

Simülasyonlar gerçek bir dağ yamacını değil, idealleştirilmiş bir tane yığınını betimliyor. Ama dışarıdan görünmeyen iç yapıdaki küçücük farkların, benzer yamaçlarda benzer sarsıntılar altında gerçek heyelanların çok farklı biçimlerde sona ermesine yol açabileceğini düşündürüyorlar. Yazarlar, kararlılık sınırının yakınında bir yamacı değerlendirmenin olası sonuçların tüm dağılımını gerektirdiği ve tanecikli akış kuramlarının rastlantıyı içlerine katmak zorunda kalacağı sonucuna varıyor.