くるくる巻いたコードはなぜ結び目ができにくいのか

ポケットから絡まったケーブルを引っぱり出したことは誰にでもあるだろう。同じ問題は、ロープや布地にも、プラスチックの長い分子にも、細胞核に詰め込まれたDNAにもつきまとう。数学者や物理学者は長年この問題を研究してきており、回転する箱の中でひもを揺さぶる実験から、ひもが長いほどよく絡まることがわかっている。

そうした実験では、ほとんどの場合まっすぐな繊維が使われてきた。しかし自然界の繊維の多くは、力がかかっていない状態でも曲がっている。植物の巻きひげ、巻き毛、コラーゲン繊維などだ。コーネル大学とスイス連邦工科大学ローザンヌ校（EPFL）のファニ・デルヴェニ（Fani Derveni）は、EPFLのハビエル・サバテル（Javier Sabater）、ペドロ・M・レイス（Pedro M. Reis）とともに、そうした生まれつきの巻きぐせが絡まりにどう影響するのかを調べた。

回転容器の中の棒

研究チームは、太さ3.2ミリメートル、長さ0.6〜4.5メートルの柔らかいシリコーン製の棒をつくった。まっすぐなものもあれば、円筒に巻きつけて成形し、自然ならせん状の巻きぐせをつけたものもある。曲率は1ミリメートルあたり0.02から0.145。曲率とは巻きの半径の逆数で、1ミリメートルあたり0.02なら直径10センチメートルほどの輪、0.145なら直径1.5センチメートル未満の輪にあたる。数値が大きいほど巻きがきつい。摩擦を減らすためにタルクをまぶし、それぞれの棒を、2つの軸のまわりで同時に回転する幅99ミリメートルの円筒の中で20分間転がした。どの条件も15回繰り返した。

そのうえで、2種類の異なる絡まりを測定した。

• 結び目：両端を自由にした状態で棒を転がし、そのあと両端を引き離す。引っ張っても絡まりが残っていれば、結び目と数える。
• ロック：両端を固定した状態で棒を転がし、そのあとモーターで一方の端をアクリル製のストッパー板に押し当てて引っ張る。絡まりはそのストッパーに押しつけられて締まっていく。棒がするりと抜けずに引き抜きに抵抗すれば、結び目の有無にかかわらず、ロックしたと数える。

ほどく巻きぐせ

まっすぐな棒では、結び目ができる確率は長さとともに着実に上がり、**3.5メートルを超えると100%**に達した。これはひもを使った以前の実験と同じだ。

曲率が1ミリメートルあたり0.11のきつく巻いた棒——直径約1.8センチメートルの輪にあたる——では、どの長さでも結び目が少なかった。その差は**最大73%**だ。約3.7メートルの長さでは、それより短い場合よりも結び目ができにくかった。らせんが円筒の中で詰まって動けなくなるためかもしれない。

巻きぐせの効果は単純ではない。0.6メートルと1.2メートルの棒では、1ミリメートルあたり0.05前後のわずかな巻きぐせによって、まず結び目ができやすくなった。そして1ミリメートルあたり約0.11の臨界曲率で、結び目は完全に消えた。試行の中で一度も結び目ができなかったのだ。著者らによれば、この「上がってから下がる」振る舞いの原因はまだわかっていない。

すべての試行ではなく、選んだいくつかの絡まりについて行ったX線スキャンが、違いをはっきり示した。まっすぐな棒は、大きくて複雑で無秩序な絡まりをつくった。巻いた棒がつくる絡まりはより単純で、ほとんどがひと結び（止め結び）か8の字結びに似ていた。

ロックは巻きぐせを気にしない

ロックはまったく別の結果を示した。その確率は棒の長さとともに上がり、巻きぐせにはほとんど左右されなかった。2.3メートルの棒では、曲率にかかわらず約60%がロックした。0.6メートルの棒は15回の試行で一度もロックしなかった。スキャンからは3種類のロックが明らかになった。棒自身に巻きつく輪、きつく締まったコンパクトな結び目、そして最も長い棒で見られる乱雑な塊だ。

2つの絡まり、2つの原因

著者らははっきりと区別している。結び目ができるかどうかは棒の全体の形で決まる。巻きぐせがあると棒の広がる範囲が小さくなり、両端が交差する回数が限られる。ロックは局所的な接触と、閉じ込められることで生じる輪によって決まる。原理的には、この2つを設計によって別々に調節できるはずだ。

著者らは、これらの結果がひとつの系、つまりひとつの棒の太さ、ひとつの素材、ひとつの容器、ひとつの回転速度に限られたものであり、まだそれを説明する理論はないことを強調している。また、主張するわけではないとしつつ、らせん状のタンパク質や超らせんDNAのように、生物の中で自然に曲がっている繊維がどう絡まるかにも、似たような幾何学的な規則が関わっているのではないかと推測している。それを確かめるには、回転容器だけでなくモデルが必要になる。