చుట్టలు తిరిగిన తాళ్లకు ముడులు ఎందుకు తక్కువ పడతాయి

జేబులోంచి చిక్కుపడిన తీగను బయటకు లాగిన అనుభవం అందరికీ ఉంటుంది. ఇదే సమస్య తాళ్లలో, వస్త్రాలలో, ప్లాస్టిక్‌ల పొడవైన అణువులలో, కణ కేంద్రకంలో కుక్కి ఉన్న DNAలో కూడా ఉంటుంది. గణిత శాస్త్రవేత్తలు, భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు దీన్ని చాలాకాలంగా అధ్యయనం చేస్తున్నారు, తిరుగుతున్న పెట్టెల్లో తాళ్లను కుదిపిన ప్రయోగాలు పొడవైన తాళ్లు ఎక్కువగా చిక్కుపడతాయని చూపించాయి.

ఆ ప్రయోగాలు దాదాపు ఎప్పుడూ నిటారైన తంతువులనే వాడాయి. కానీ చాలా సహజ తంతువులు విశ్రాంత స్థితిలోనూ వంకరగా ఉంటాయి: మొక్కల నులితీగలు, ఉంగరాల జుట్టు, కొల్లాజెన్ తంతువులు. కార్నెల్ విశ్వవిద్యాలయం, École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) లకు చెందిన ఫాని డెర్వెని (Fani Derveni), EPFLకు చెందిన హావియర్ సబాటర్ (Javier Sabater), పెడ్రో ఎం. రెయిస్ (Pedro M. Reis)లతో కలిసి, ఈ అంతర్నిర్మిత చుట్ట చిక్కుపడటంపై ఏం ప్రభావం చూపుతుందని ప్రశ్నించారు.

దొర్లించే పాత్రలో కడ్డీలు

బృందం 3.2 మిల్లీమీటర్ల మందం, 0.6 నుంచి 4.5 మీటర్ల పొడవు ఉన్న మెత్తని సిలికాన్ కడ్డీలను పోత పోసింది. కొన్ని నిటారుగా ఉన్నాయి. మరికొన్నింటికి సహజమైన సర్పిలాకార చుట్ట ఇవ్వడానికి స్థూపాల చుట్టూ అచ్చు పోశారు, వాటి వక్రత మిల్లీమీటరుకు 0.02 నుంచి 0.145. వక్రత అంటే చుట్ట వ్యాసార్ధానికి విలోమం: మిల్లీమీటరుకు 0.02 అంటే 10 సెంటీమీటర్ల వ్యాసం ఉన్న చుట్టలు, 0.145 అంటే 1.5 సెంటీమీటర్ల కంటే తక్కువ వ్యాసం ఉన్న చుట్టలు. సంఖ్య ఎంత ఎక్కువైతే చుట్ట అంత బిగుతు. ఘర్షణ తగ్గించడానికి టాల్క్ పూసి, ప్రతి కడ్డీని ఒకేసారి రెండు అక్షాల చుట్టూ తిరిగే 99 మిల్లీమీటర్ల వెడల్పు ఉన్న స్థూపంలో 20 నిమిషాలు దొర్లించారు. ప్రతి స్థితిని 15 సార్లు పునరావృతం చేశారు.

తర్వాత వారు రెండు వేర్వేరు రకాల చిక్కులను కొలిచారు:

• ముడిపడటం: రెండు చివరలూ స్వేచ్ఛగా ఉండగా కడ్డీని దొర్లించి, తర్వాత రెండు చివరలనూ వ్యతిరేక దిశల్లో లాగారు. లాగిన తర్వాత కూడా చిక్కు మిగిలి ఉంటే, దాన్ని ముడిగా లెక్కించారు.
• బిగుసుకుపోవడం (locking): రెండు చివరలనూ స్థిరంగా ఉంచి కడ్డీని దొర్లించి, తర్వాత ఒక మోటారు ఒక చివరను ఎక్రిలిక్ అడ్డు పలకకు ఆనించి లాగింది. చిక్కు ఆ అడ్డుకు వత్తుకుని బిగుసుకుంటుంది; కడ్డీ జారి బయటకు రాకుండా లాగడాన్ని ప్రతిఘటిస్తే, ముడి ఉన్నా లేకపోయినా, దాన్ని బిగుసుకుపోయినట్లు లెక్కించారు.

ముడి విప్పే చుట్ట

నిటారైన కడ్డీలకు, ముడిపడే అవకాశం పొడవుతో పాటు స్థిరంగా పెరిగి, **3.5 మీటర్లు దాటాక 100%**కి చేరింది — తాళ్లతో చేసిన మునుపటి ప్రయోగాల్లాగే.

మిల్లీమీటరుకు 0.11 వక్రత ఉన్న బిగుతుగా చుట్టుకున్న కడ్డీలు — అంటే సుమారు 1.8 సెంటీమీటర్ల వ్యాసం ఉన్న చుట్టలు — ప్రతి పొడవు వద్దా తక్కువగా ముడిపడ్డాయి — 73% వరకు తక్కువ. సుమారు 3.7 మీటర్ల వద్ద అవి పొట్టి పొడవుల కంటే కూడా తక్కువగా ముడిపడ్డాయి, బహుశా సర్పిలం స్థూపంలో ఇరుక్కుపోవడం వల్ల కావచ్చు.

చుట్ట ప్రభావం సరళమైనది కాదు. 0.6, 1.2 మీటర్ల కడ్డీలకు, మిల్లీమీటరుకు సుమారు 0.05 ఉన్న కొద్దిపాటి చుట్ట మొదట ముడులు పడే అవకాశాన్ని పెంచింది. తర్వాత, మిల్లీమీటరుకు సుమారు 0.11 కీలక వక్రత వద్ద ముడులు పూర్తిగా మాయమయ్యాయి: ప్రయోగాల్లో ఒక్క ముడి కూడా పడలేదు. ఈ పెరిగి-తగ్గే ప్రవర్తనకు మూలం ఇంకా అర్థం కాలేదని రచయితలు చెబుతున్నారు.

అన్ని ప్రయోగాలపై కాకుండా ఎంపిక చేసిన కొన్ని చిక్కులపై మాత్రమే చేసిన ఎక్స్-రే స్కాన్‌లు తేడాను చూపించాయి. నిటారైన కడ్డీలు పెద్ద, సంక్లిష్టమైన, అస్తవ్యస్తమైన చిక్కులను ఏర్పరిచాయి. చుట్టుకున్న కడ్డీలు సరళమైన చిక్కులను ఏర్పరిచాయి, ఎక్కువగా సాధారణ ముడి (overhand knot) లేదా ఎనిమిది అంకె ముడి (figure-eight knot) లాంటివి.

బిగుసుకుపోవడానికి పట్టింపు లేదు

బిగుసుకుపోవడం వేరే కథ చెప్పింది. దాని అవకాశం కడ్డీ పొడవుతో పెరిగింది, దాని చుట్టపై దాదాపు ఆధారపడలేదు. 2.3 మీటర్ల కడ్డీలలో, వక్రత ఏదైనా సరే, సుమారు 60% బిగుసుకుపోయాయి; 0.6 మీటర్ల కడ్డీలు 15 ప్రయత్నాల్లో ఒక్కసారి కూడా బిగుసుకుపోలేదు. స్కాన్‌లు మూడు రకాల బిగింపులను బయటపెట్టాయి: కడ్డీ చుట్టూనే చుట్టుకున్న ఉచ్చులు, బిగుతైన కాంపాక్ట్ ముడులు, అతి పొడవైన కడ్డీలలో గందరగోళపు గుత్తులు.

రెండు చిక్కులు, రెండు కారణాలు

రచయితలు స్పష్టమైన తేడాను చూపుతారు. ముడిపడటం కడ్డీ యొక్క మొత్తం ఆకారంపై ఆధారపడుతుంది: చుట్ట కడ్డీ విస్తరించే స్థలాన్ని తగ్గిస్తుంది, దాని చివరలు ఒకదాన్నొకటి దాటడాన్ని పరిమితం చేస్తుంది. బిగుసుకుపోవడం స్థానిక స్పర్శలపై, ఇరుకైన పరిధి బలవంతంగా ఏర్పరిచే ఉచ్చులపై ఆధారపడుతుంది. సూత్రప్రాయంగా, రూపకల్పన ద్వారా ఈ రెండింటినీ వేర్వేరుగా సర్దుబాటు చేయవచ్చు.

ఈ ఫలితాలు ఒకే వ్యవస్థకు — ఒక కడ్డీ మందం, ఒక పదార్థం, ఒక పాత్ర, ఒక దొర్లింపు వేగం — చెందినవని, వాటిని వివరించే సిద్ధాంతం ఇంకా లేదని వారు నొక్కి చెబుతారు. సర్పిలాకార ప్రోటీన్లు, అతిచుట్టల (supercoiled) DNA వంటి జీవశాస్త్రంలోని సహజంగా వంకరగా ఉండే తంతువులు ఎలా చిక్కుపడతాయో కూడా ఇలాంటి జ్యామితీయ నియమాలే నిర్ణయించవచ్చని, దాన్ని నిరూపించినట్లు చెప్పకుండానే, వారు ఊహిస్తారు. దాన్ని పరీక్షించడానికి కేవలం దొర్లించే పాత్ర కాదు, మోడళ్లు అవసరమవుతాయి.