POURQUOI LES CORDONS BOUCLÉS FONT MOINS DE NŒUDS

Tout le monde a déjà sorti un câble emmêlé de sa poche. Le même problème traverse les cordes et les tissus, les longues molécules des plastiques, et l’ADN replié dans le noyau d’une cellule. Mathématiciens et physiciens l’étudient depuis longtemps, et des expériences avec des ficelles secouées dans des boîtes qui tournent ont montré que plus une ficelle est longue, plus elle s’emmêle.

Ces expériences utilisaient presque toujours des filaments droits. Or beaucoup de filaments naturels sont courbés même au repos : vrilles des plantes, cheveux bouclés, fibres de collagène. Fani Derveni, de l’université Cornell et de l’École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL), avec Javier Sabater et Pedro M. Reis à l’EPFL, s’est demandé ce que cette boucle naturelle change à l’emmêlement.

Des tiges dans une culbuteuse

L’équipe a moulé des tiges de silicone souple de 3,2 millimètres d’épaisseur et de 0,6 à 4,5 mètres de long. Certaines étaient droites. D’autres étaient moulées autour de cylindres pour leur donner une boucle naturelle en hélice, avec des courbures de 0,02 à 0,145 par millimètre. La courbure est l’inverse du rayon de la boucle : 0,02 par millimètre, ce sont des spires de 10 centimètres de diamètre, et 0,145 par millimètre des spires de moins de 1,5 centimètre. Plus le nombre est grand, plus la boucle est serrée. Enduite de talc pour limiter le frottement, chaque tige a culbuté 20 minutes dans un cylindre de 99 millimètres de large, tournant autour de deux axes à la fois. Chaque condition a été répétée 15 fois.

Les chercheurs ont mesuré deux sortes d’emmêlement :

• Le nœud : la tige culbute extrémités libres, puis on tire sur les deux bouts. Si un emmêlement résiste, c’est un nœud.
• Le blocage : la tige culbute extrémités fixées, puis un moteur tire un bout contre une plaque d’arrêt en acrylique. L’emmêlement se resserre contre cette butée ; si la tige résiste à l’extraction au lieu de se défaire en glissant, elle est bloquée, nœud ou pas.

La boucle qui dénoue

Pour les tiges droites, la probabilité de nœud augmentait régulièrement avec la longueur et atteignait 100 % au-delà de 3,5 mètres, comme dans les expériences antérieures avec des ficelles.

Les tiges très bouclées, d’une courbure de 0,11 par millimètre — des spires d’environ 1,8 centimètre de diamètre —, se nouaient moins à toutes les longueurs — jusqu’à 73 % de moins. Elles se nouaient même moins vers 3,7 mètres qu’à des longueurs plus courtes, peut-être parce que l’hélice se coince dans le cylindre.

L’effet de la boucle n’est pas simple. Pour des tiges de 0,6 et 1,2 mètre, une légère boucle, vers 0,05 par millimètre, rendait d’abord les nœuds plus probables. Puis, à une courbure critique d’environ 0,11 par millimètre, les nœuds disparaissaient complètement : plus aucun nœud dans les essais. Les auteurs disent que l’origine de cette montée suivie d’une chute n’est pas encore comprise.

Des scanners aux rayons X, faits sur quelques emmêlements choisis et non sur tous les essais, montrent la différence. Les tiges droites formaient de grands emmêlements compliqués et désordonnés. Les tiges bouclées en donnaient de plus simples, ressemblant le plus souvent à un nœud simple ou à un nœud en huit.

Le blocage s’en moque

Le blocage racontait une autre histoire. Sa probabilité augmentait avec la longueur de la tige et dépendait à peine de sa boucle. Pour des tiges de 2,3 mètres, environ 60 % se bloquaient quelle que soit leur courbure ; les tiges de 0,6 mètre ne se sont jamais bloquées en 15 essais. Les scanners ont révélé trois formes de blocage : des boucles enroulées autour de la tige elle-même, des nœuds serrés et compacts, et des amas désordonnés dans les tiges les plus longues.

Deux emmêlements, deux causes

Les auteurs tracent une distinction nette. Le nœud dépend de la forme d’ensemble de la tige : une boucle réduit l’espace qu’elle occupe et limite les croisements de ses extrémités. Le blocage dépend de contacts locaux et de boucles imposées par le confinement. En principe, on pourrait régler les deux séparément par la forme.

Ils insistent sur le fait que ces résultats valent pour un seul système — une épaisseur de tige, un matériau, un récipient, une vitesse de culbutage — et qu’aucune théorie ne les explique encore. Ils avancent aussi, sans l’affirmer, que des règles géométriques semblables pourraient jouer dans l’emmêlement de filaments biologiques naturellement courbés, comme les protéines en hélice ou l’ADN surenroulé. Le vérifier demandera des modèles, pas seulement une culbuteuse.