FORMEN, DIE DEN RAUM FAST AUSFÜLLEN

Quadrate und Sechsecke parkettieren den Boden perfekt. Viele andere Formen nicht. Aber eine Form, die nicht alles parkettieren kann, lässt sich vielleicht trotzdem passgenau von Kopien ihrer selbst umgeben, ohne Lücke und ohne Überlappung. Ein solcher Ring aus Kopien heißt Korona. Manchmal passt eine zweite Korona um die erste, dann eine dritte. Die größte Zahl von Koronen, die man bauen kann, ist die Heesch-Zahl der Form, benannt nach Heinrich Heesch.

Eine Form, die die Ebene parkettiert, hat eine unendliche Heesch-Zahl, und auch die Umkehrung gilt. Die Zahl misst also, wie nahe eine nicht parkettierende Form dem Parkettieren kommt.

Festgefahren bei sechs

Das Heesch-Problem fragt, ob endliche Heesch-Zahlen eine Obergrenze haben. In der Ebene ging es laut dem Paper nur langsam voran: Über die Jahre wurden Figuren mit Heesch-Zahl 2, dann 3, dann 5 gefunden, und 2021 eine mit 6, bis heute der Rekord in der Ebene. Diese Figur hat der Autor des neuen Papers selbst gefunden. Große Computersuchen unter Formen aus Quadraten, Sechsecken oder Dreiecken fanden nie etwas über 4.

Die Frage ist mehr als ein Rätsel. Hätten Heesch-Zahlen für eine vernünftige Familie von Formen eine Obergrenze, könnte man entscheiden, ob eine Form die Ebene parkettiert: Man müsste nur versuchen, eine Korona mehr zu bauen, als die Obergrenze erlaubt. Ob sich das für eine einzelne Form in der Ebene entscheiden lässt, ist noch unbekannt.

Keine Obergrenze in drei Dimensionen

Bojan Bašić (Universität Novi Sad, Serbien) klärt die Frage im Raum. Für jede ganze Zahl h baut er einen Körper, dessen Heesch-Zahl endlich und mindestens h ist. Da sich eine 3D-Konstruktion in höhere Dimensionen fortsetzen lässt, gilt dasselbe in jeder Dimension ab 3. Die Ebene bleibt offen.

Die Konstruktion ist explizit und elementar. Die Form besteht aus 48h + 64 Einheitswürfeln, versehen mit kleinen Höckern und passenden Kerben.

Vier Zahlen auf einer Geraden

Alles beginnt mit vier ganzen Zahlen:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Verschobene Kopien dieser Menge können nie alle ganzen Zahlen überlappungsfrei überdecken: Das Paper gibt einen kurzen Beweis. Dennoch können sie lückenlos eine Folge von 4n² − 10n − 2 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen füllen, obwohl die Menge selbst nur 4n überspannt. Ein so langer Beinahe-Treffer ist genau das, was eine große Heesch-Zahl braucht.

Von Punkten zu Würfeln

Der Autor setzt die vier Punkte entlang einer Diagonalrichtung eines Würfelgitters und hängt an jeden denselben geknickten Pfad: 2n Würfel entlang einer Achse, dann eine Ebene höher und 2n Würfel entlang einer anderen. Die vier Pfade verbinden sich zu einem einzigen zusammenhängenden Block aus 16n Würfeln. Er erbt beide Eigenschaften der vier Zahlen: Er kann den Raum nicht füllen, aber seine Kopien füllen einen ganzen Würfel der Kantenlänge 4n² − 12n − 1.

Kleine Höcker auf den Flächen, von denen jeder nur in seine eigene Kerbe passt, verhindern, dass Kopien gedreht oder gespiegelt werden, sodass Nachbarn sich exakt ausrichten müssen. Dann lassen sich, ausgehend von einer Kopie in der Mitte dieses großen gefüllten Würfels, Ring um Ring Kopien als Koronen abschälen. Die Wahl n = 3h + 4 garantiert mindestens h davon.

Der Raum vor der Ebene

Das Paper merkt an, dass dies nicht die erste Parkettierungsfrage ist, die im Raum vor der Ebene beantwortet wurde. Ein raumfüllender Körper einer besonderen Art, nach dem Hilbert gefragt hatte, wurde 1928 gefunden, sieben Jahre vor seinem ebenen Gegenstück. Und ein dreidimensionaler aperiodischer Körper wurde 1988 gebaut, rund dreieinhalb Jahrzehnte bevor aperiodische Formen in der Ebene entdeckt wurden. Ob sich der ebene Rekord von 6 unbegrenzt übertreffen lässt, ist der Teil von Heeschs Frage, der noch wartet.