అంతరిక్షాన్ని దాదాపు నింపేసే ఆకారాలు

చతురస్రాలు, షడ్భుజాలు నేలను సంపూర్ణంగా కప్పుతాయి. అనేక ఇతర ఆకారాలు అలా చేయవు. కానీ అంతటినీ కప్పలేని ఆకారం కూడా తన సొంత ప్రతులతో చుట్టుముట్టబడవచ్చు, చక్కగా, ఖాళీ లేకుండా, ఒకదానిపై ఒకటి ఎక్కకుండా. ప్రతుల అలాంటి వలయాన్ని కరోనా (corona) అంటారు. కొన్నిసార్లు మొదటి కరోనా చుట్టూ రెండోది సరిపోతుంది, ఆపై మూడోది. మీరు నిర్మించగల గరిష్ఠ కరోనాల సంఖ్యే ఆ ఆకారం యొక్క హీష్ సంఖ్య, హైన్‌రిఖ్ హీష్ (Heinrich Heesch) పేరు మీదుగా.

సమతలాన్ని కప్పే ఆకారానికి హీష్ సంఖ్య అనంతం, దీని విపర్యయం కూడా నిజమే. కాబట్టి కప్పలేని ఒక ఆకారం కప్పడానికి ఎంత దగ్గరగా వస్తుందో ఈ సంఖ్య కొలుస్తుంది.

ఆరు వద్ద చిక్కుకుపోయి

హీష్ సమస్య పరిమిత హీష్ సంఖ్యలకు గరిష్ఠ పరిమితి ఉందా అని అడుగుతుంది. పత్రం ప్రకారం, సమతలంలో పురోగతి నెమ్మదిగా ఉంది: సంవత్సరాలుగా హీష్ సంఖ్య 2, తర్వాత 3, తర్వాత 5 ఉన్న ఆకృతులు దొరికాయి, 2021లో 6 దొరికింది, అదే ఇప్పటికీ సమతల రికార్డు. ఆ ఆకృతిని కనుగొన్నది కొత్త పత్రం రచయితే. చతురస్రాలు, షడ్భుజాలు లేదా త్రిభుజాలతో చేసిన ఆకారాల్లో పెద్ద ఎత్తున జరిపిన కంప్యూటర్ అన్వేషణలు 4 కంటే పైనదేదీ ఎప్పుడూ కనుగొనలేదు.

ఈ ప్రశ్నకు పజిల్స్‌కు మించిన ప్రాముఖ్యం ఉంది. సహేతుకమైన ఆకారాల కుటుంబానికి హీష్ సంఖ్యలకు గరిష్ఠ పరిమితి ఉంటే, ఒక ఆకారం సమతలాన్ని కప్పుతుందో లేదో నిర్ణయించవచ్చు: పరిమితి అనుమతించే దాని కంటే ఒక కరోనా ఎక్కువ నిర్మించడానికి ప్రయత్నిస్తే చాలు. సమతలంలో ఒకే ఆకారానికి దీన్ని నిర్ణయించవచ్చో లేదో ఇంకా తెలియదు.

మూడు కొలతల్లో గరిష్ఠ పరిమితి లేదు

Bojan Bašić (యూనివర్సిటీ ఆఫ్ నోవీ సాడ్, సెర్బియా) అంతరిక్షంలో ఈ ప్రశ్నను తేల్చేశారు. ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య h కి, హీష్ సంఖ్య పరిమితంగా, కనీసం h గా ఉండే ఘన ఆకారాన్ని ఆయన నిర్మిస్తారు. మూడు కొలతల నిర్మాణాన్ని ఉన్నత కొలతలకు విస్తరించవచ్చు కాబట్టి, 3 నుంచి పైబడిన ప్రతి కొలతలోనూ ఇదే నిజం. సమతల ప్రశ్న ఇంకా తెరిచే ఉంది.

నిర్మాణం స్పష్టమైనది, ప్రాథమికమైనది. ఆ ఆకారం 48h + 64 ఏకాంక ఘనాలతో తయారైంది, దానిపై చిన్న ఉబ్బెత్తులు, వాటికి సరిపోయే గాట్లు ఉంటాయి.

ఒక రేఖపై నాలుగు సంఖ్యలు

అంతా నాలుగు పూర్ణాంకాలతో మొదలవుతుంది:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

ఈ సమితిని జరిపిన ప్రతులు ఒకదానిపై ఒకటి ఎక్కకుండా అన్ని పూర్ణాంకాలనూ ఎప్పటికీ కప్పలేవు: పత్రం దీనికి చిన్న నిరూపణ ఇస్తుంది. అయినప్పటికీ, సమితి స్వయంగా 4n మేర మాత్రమే విస్తరించినా, అవి ఖాళీలు లేకుండా 4n² − 10n − 2 వరుస పూర్ణాంకాల విస్తారాన్ని నింపగలవు. అంత పొడవైన “తృటిలో తప్పిపోవడమే” పెద్ద హీష్ సంఖ్యకు కావలసినది.

బిందువుల నుంచి ఘనాల వరకు

రచయిత ఆ నాలుగు బిందువులను ఘనాల జాలకంలో ఒక కర్ణ దిశ వెంబడి ఉంచి, ప్రతి దానికీ ఒకే వంకర మార్గాన్ని జోడిస్తారు: ఒక అక్షం వెంబడి 2n ఘనాలు, తర్వాత ఒక అంతస్తు పైకి, మరో అక్షం వెంబడి 2n ఘనాలు. ఈ నాలుగు మార్గాలు కలిసి 16n ఘనాల ఒకే అనుసంధానిత దిమ్మెగా తయారవుతాయి. అది నాలుగు సంఖ్యల రెండు లక్షణాలనూ వారసత్వంగా పొందుతుంది: అది అంతరిక్షాన్ని నింపలేదు, కానీ దాని ప్రతులు 4n² − 12n − 1 అంచు గల ఒక పూర్తి ఘనాన్ని నింపుతాయి.

ముఖాలపై ఉన్న చిన్న ఉబ్బెత్తులు, ఒక్కొక్కటీ తన సొంత గాటులోనే సరిపోయేవి, ప్రతులను తిప్పకుండా లేదా తిరగేయకుండా అడ్డుకుంటాయి, కాబట్టి పొరుగువి కచ్చితంగా వరుసలో నిలవాల్సిందే. ఆపై, ఆ పెద్ద నిండిన ఘనం కేంద్రంలోని ఒక ప్రతి నుంచి మొదలుపెట్టి, ప్రతుల వలయాన్ని ఒకదాని తర్వాత ఒకటి కరోనాలుగా ఒలిచివేయవచ్చు. n = 3h + 4 ఎంచుకుంటే వాటిలో కనీసం h ఉంటాయని హామీ.

సమతలం కంటే ముందే అంతరిక్షం

సమతలం కంటే ముందే అంతరిక్షంలో జవాబు దొరికిన మొదటి కప్పే ప్రశ్న ఇది కాదని పత్రం గమనిస్తుంది. హిల్బర్ట్ అడిగిన ఒక ప్రత్యేక రకపు అంతరిక్షాన్ని నింపే ఘనం 1928లో దొరికింది, దాని సమతల ప్రతిరూపానికి ఏడేళ్ల ముందు. మూడు కొలతల అనావర్తన (aperiodic) ఘనాన్ని 1988లో నిర్మించారు, సమతలంలో అనావర్తన ఆకారాలు కనుగొనడానికి సుమారు మూడున్నర దశాబ్దాల ముందు. సమతల రికార్డు 6 ను పరిమితి లేకుండా అధిగమించవచ్చా అనేది, హీష్ ప్రశ్నలో ఇంకా ఎదురుచూస్తున్న భాగం.