ایسی شکلیں جو خلا کو تقریباً بھر دیتی ہیں

مربع اور مسدس فرش کو مکمل طور پر ڈھک دیتے ہیں۔ بہت سی دوسری شکلیں ایسا نہیں کرتیں۔ لیکن جو شکل سب کچھ نہیں ڈھک سکتی، اسے پھر بھی اپنی ہی نقلوں سے ٹھیک ٹھیک گھیرا جا سکتا ہے، بغیر کسی خلا اور بغیر کسی اوورلیپ کے۔ نقلوں کے ایسے حلقے کو کرونا (corona) کہتے ہیں۔ کبھی کبھی پہلے کرونا کے گرد دوسرا کرونا بھی آ جاتا ہے، پھر تیسرا۔ آپ جتنے زیادہ سے زیادہ کرونا بنا سکیں، وہ اس شکل کا ہیش نمبر ہے، جو ہائنرش ہیش کے نام پر ہے۔

جو شکل ہموار سطح کو ڈھک دیتی ہے اس کا ہیش نمبر لامحدود ہوتا ہے، اور اس کا الٹ بھی سچ ہے۔ لہٰذا یہ عدد ناپتا ہے کہ نہ ڈھکنے والی شکل ڈھکنے کے کتنا قریب آتی ہے۔

چھ پر اٹکے ہوئے

ہیش کا مسئلہ پوچھتا ہے کہ کیا محدود ہیش نمبروں کی کوئی بالائی حد ہے۔ مقالے کے مطابق ہموار سطح پر پیش رفت سست رہی ہے: برسوں میں ہیش نمبر 2، پھر 3، پھر 5 والی اشکال ملیں، اور 2021 میں 6 والی، جو اب بھی ہموار سطح کا ریکارڈ ہے۔ وہ شکل خود نئے مقالے کے مصنف نے ڈھونڈی تھی۔ مربعوں، مسدسوں یا مثلثوں سے بنی شکلوں میں کمپیوٹر کی بڑی تلاشوں کو کبھی 4 سے اوپر کچھ نہیں ملا۔

یہ سوال پہیلیوں سے آگے اہمیت رکھتا ہے۔ اگر شکلوں کے کسی معقول خاندان کے لیے ہیش نمبروں کی بالائی حد ہوتی، تو یہ طے کیا جا سکتا کہ کوئی شکل ہموار سطح کو ڈھکتی ہے یا نہیں: بس حد کی اجازت سے ایک کرونا زیادہ بنانے کی کوشش کیجیے۔ ہموار سطح پر کسی ایک شکل کے لیے یہ طے ہو سکتا ہے یا نہیں، یہ ابھی معلوم نہیں۔

تین جہتوں میں کوئی بالائی حد نہیں

بویان باشچ (یونیورسٹی آف نووی ساد، سربیا) یہ سوال خلا میں حل کرتے ہیں۔ ہر صحیح عدد h کے لیے وہ ایک ٹھوس جسم بناتے ہیں جس کا ہیش نمبر محدود اور کم از کم h ہے۔ چونکہ 3D تعمیر کو بلند تر جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے، اس لیے یہی بات 3 سے اوپر ہر جہت میں درست ہے۔ ہموار سطح کا سوال ابھی کھلا ہے۔

تعمیر واضح اور بنیادی ہے۔ شکل 48h + 64 اکائی مکعبوں سے بنی ہے، جن پر چھوٹے ابھار اور ان سے ملتے کٹاؤ بنے ہیں۔

ایک لکیر پر چار اعداد

سب کچھ چار صحیح اعداد سے شروع ہوتا ہے:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

اس سیٹ کی کھسکائی گئی نقلیں کبھی بھی تمام صحیح اعداد کو بغیر اوورلیپ کے نہیں ڈھک سکتیں: مقالہ اس کا ایک مختصر ثبوت دیتا ہے۔ پھر بھی وہ بغیر خلا کے 4n² − 10n − 2 مسلسل صحیح اعداد کی ایک قطار بھر سکتی ہیں، حالانکہ خود سیٹ صرف 4n تک پھیلا ہوا ہے۔ اتنی لمبی “تقریباً کامیابی” ہی وہ چیز ہے جو ایک بڑے ہیش نمبر کو درکار ہے۔

نقاط سے مکعبوں تک

مصنف چاروں نقاط کو مکعبوں کی ایک جالی کی ایک ترچھی سمت میں رکھتے ہیں، اور ہر ایک کے ساتھ ایک ہی مڑا ہوا راستہ جوڑتے ہیں: ایک محور کے ساتھ 2n مکعب، پھر ایک سطح اوپر اور دوسرے محور کے ساتھ 2n مکعب۔ چاروں راستے مل کر 16n مکعبوں کا ایک واحد جڑا ہوا بلاک بن جاتے ہیں۔ اسے چاروں اعداد کی دونوں خصوصیات ورثے میں ملتی ہیں: یہ خلا کو نہیں بھر سکتا، مگر اس کی نقلیں 4n² − 12n − 1 کنارے والا ایک پورا مکعب بھر دیتی ہیں۔

سطحوں پر چھوٹے ابھار، جن میں سے ہر ایک صرف اپنے ہی کٹاؤ میں بیٹھتا ہے، نقلوں کو گھمائے یا الٹے جانے سے روکتے ہیں، چنانچہ پڑوسی نقلیں بالکل ٹھیک صف بند ہونے پر مجبور ہوتی ہیں۔ پھر اس بڑے بھرے ہوئے مکعب کے مرکز کی ایک نقل سے شروع کر کے نقلوں کے حلقے پر حلقے کرونا کے طور پر الگ کیے جا سکتے ہیں۔ n = 3h + 4 چننے سے کم از کم h کرونا کی ضمانت ملتی ہے۔

سطح سے پہلے خلا

مقالہ نوٹ کرتا ہے کہ یہ ٹائلنگ کا پہلا سوال نہیں جس کا جواب ہموار سطح سے پہلے خلا میں ملا ہو۔ ایک خاص قسم کا خلا بھرنے والا ٹھوس جسم، جس کے بارے میں ہلبرٹ نے پوچھا تھا، 1928 میں ملا، اپنے ہموار ہم منصب سے سات سال پہلے۔ اور ایک سہ جہتی غیر دوری (aperiodic) جسم 1988 میں بنایا گیا، ہموار سطح پر غیر دوری اشکال کی دریافت سے تقریباً ساڑھے تین دہائیاں پہلے۔ کیا ہموار سطح کا 6 کا ریکارڈ بغیر کسی حد کے توڑا جا سکتا ہے، ہیش کے سوال کا یہی حصہ ابھی منتظر ہے۔