FORMAS QUE CASI LLENAN EL ESPACIO

Los cuadrados y los hexágonos embaldosan el suelo a la perfección. Muchas otras formas no. Pero una forma que no puede teselarlo todo puede aun así quedar rodeada por copias de sí misma, perfectamente encajadas, sin huecos ni solapamientos. Un anillo así de copias se llama corona. A veces cabe una segunda corona alrededor de la primera, y luego una tercera. El mayor número de coronas que se pueden construir es el número de Heesch de la forma, en honor a Heinrich Heesch.

Una forma que tesela el plano tiene un número de Heesch infinito, y lo recíproco también es cierto. Así que el número mide lo cerca que una forma que no tesela está de hacerlo.

Estancados en seis

El problema de Heesch pregunta si los números de Heesch finitos tienen un techo. En el plano, los avances han sido lentos, según el artículo: con los años se encontraron figuras con número de Heesch 2, luego 3, luego 5, y 6 en 2021, que sigue siendo el récord en el plano. Esa figura la encontró el propio autor del nuevo artículo. Grandes búsquedas por ordenador entre formas hechas de cuadrados, hexágonos o triángulos nunca encontraron nada por encima de 4.

La cuestión importa más allá de los pasatiempos. Si los números de Heesch tuvieran un techo para una familia razonable de formas, se podría decidir si una forma tesela el plano: bastaría con intentar construir una corona más de las que permite el techo. Si eso puede decidirse para una sola forma en el plano sigue sin saberse.

Sin techo en tres dimensiones

Bojan Bašić (Universidad de Novi Sad, Serbia) zanja la cuestión en el espacio. Para todo número entero h, construye un sólido cuyo número de Heesch es finito y al menos h. Como una construcción en 3D puede extenderse a dimensiones superiores, lo mismo vale en todas las dimensiones a partir de 3. El plano sigue abierto.

La construcción es explícita y elemental. La forma está hecha de 48h + 64 cubos unidad, decorados con pequeños salientes y muescas a juego.

Cuatro números en una recta

Todo empieza con cuatro enteros:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Las copias desplazadas de este conjunto nunca pueden cubrir todos los enteros sin solaparse: el artículo da una demostración breve. Y sin embargo pueden llenar, sin huecos, una serie de 4n² − 10n − 2 enteros consecutivos, aunque el propio conjunto abarque solo 4n. Un casi acierto así de largo es exactamente lo que necesita un número de Heesch grande.

De los puntos a los cubos

El autor coloca los cuatro puntos a lo largo de una dirección diagonal de una cuadrícula de cubos y fija a cada uno el mismo camino doblado: 2n cubos a lo largo de un eje, luego un nivel hacia arriba y 2n cubos a lo largo de otro. Los cuatro caminos se unen en un único bloque conexo de 16n cubos. Este hereda las dos propiedades de los cuatro números: no puede llenar el espacio, pero sus copias llenan un cubo entero de arista 4n² − 12n − 1.

Unos pequeños salientes en las caras, cada uno de los cuales encaja solo en su propia muesca, impiden que las copias se giren o se volteen, de modo que los vecinos quedan obligados a alinearse con exactitud. Después, partiendo de una copia en el centro de ese gran cubo lleno, se pueden ir desprendiendo anillo tras anillo de copias a modo de coronas. Elegir n = 3h + 4 garantiza al menos h de ellas.

El espacio antes que el plano

El artículo señala que no es la primera cuestión sobre teselaciones que se resuelve en el espacio antes que en el plano. Un sólido de un tipo especial que llena el espacio, por el que había preguntado Hilbert, se encontró en 1928, siete años antes que su equivalente plano. Y en 1988 se construyó un sólido aperiódico tridimensional, unas tres décadas y media antes de que se descubrieran formas aperiódicas en el plano. Si el récord de 6 en el plano puede superarse sin límite es la parte de la pregunta de Heesch que sigue pendiente.