DES FORMES QUI REMPLISSENT PRESQUE L'ESPACE

Carrés et hexagones carrèlent parfaitement le sol. Beaucoup d’autres formes, non. Mais une forme qui ne pave pas tout peut parfois être entourée par des copies d’elle-même, bien ajustées, sans trou ni chevauchement. Un tel anneau de copies s’appelle une couronne. Parfois, une deuxième couronne tient autour de la première, puis une troisième. Le plus grand nombre de couronnes possible est le nombre de Heesch de la forme, d’après Heinrich Heesch.

Une forme qui pave le plan a un nombre de Heesch infini, et la réciproque est vraie aussi. Ce nombre mesure donc à quel point une forme qui ne pave pas frôle le pavage.

Bloqué à six

Le problème de Heesch demande si les nombres de Heesch finis ont un plafond. Dans le plan, les progrès ont été lents, selon l’article : on a trouvé au fil des ans des figures de nombre de Heesch 2, puis 3, puis 5, et 6 en 2021, toujours le record du plan. Cette figure avait été trouvée par l’auteur du nouvel article lui-même. De grandes recherches par ordinateur parmi les formes faites de carrés, d’hexagones ou de triangles n’ont jamais rien trouvé au-dessus de 4.

La question dépasse le casse-tête. Si les nombres de Heesch avaient un plafond pour une famille raisonnable de formes, on pourrait décider si une forme pave le plan : il suffirait d’essayer de construire une couronne de plus que le plafond ne le permet. On ignore encore si cela est décidable pour une seule forme dans le plan.

Pas de plafond en trois dimensions

Bojan Bašić (université de Novi Sad, Serbie) tranche la question dans l’espace. Pour tout nombre entier h, il construit un solide dont le nombre de Heesch est fini et au moins égal à h. Comme une construction en 3D se prolonge en dimension supérieure, le résultat vaut pour toute dimension à partir de 3. Le plan reste ouvert.

La construction est explicite et élémentaire. La forme compte 48h + 64 cubes unité, décorés de petites bosses et d’encoches assorties.

Quatre nombres sur une droite

Tout part de quatre entiers :

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Des copies décalées de cet ensemble ne peuvent jamais couvrir tous les entiers sans chevauchement : l’article en donne une courte preuve. Pourtant, elles peuvent remplir, sans trou, une suite de 4n² − 10n − 2 entiers consécutifs, alors que l’ensemble lui-même ne s’étend que sur 4n. Un « presque » aussi long, c’est exactement ce qu’il faut pour un grand nombre de Heesch.

Des points aux cubes

L’auteur place les quatre points le long d’une direction diagonale d’une grille de cubes, et accroche à chacun le même chemin coudé : 2n cubes le long d’un axe, puis un étage plus haut et 2n cubes le long d’un autre. Les quatre chemins se rejoignent en un seul bloc connexe de 16n cubes. Il hérite des deux propriétés des quatre nombres : il ne peut pas remplir l’espace, mais ses copies remplissent tout un cube d’arête 4n² − 12n − 1.

De petites bosses sur les faces, chacune n’entrant que dans son encoche, empêchent de tourner ou de retourner les copies : les voisines doivent s’aligner exactement. Ensuite, en partant d’une copie au centre de ce grand cube rempli, on peut détacher anneau après anneau de copies, autant de couronnes. Choisir n = 3h + 4 en garantit au moins h.

L’espace avant le plan

L’article note que ce n’est pas la première question de pavage résolue dans l’espace avant le plan. Un solide pavant l’espace d’un genre particulier, demandé par Hilbert, a été trouvé en 1928, sept ans avant son équivalent plat. Et un solide apériodique en trois dimensions a été construit en 1988, quelque trois décennies et demie avant la découverte de formes apériodiques dans le plan. Savoir si le record plan de 6 peut être battu sans limite, c’est la part de la question de Heesch qui attend encore.