MAUMBO YANAYOKARIBIA KUJAZA NAFASI

Miraba na pembesita hufunika sakafu kikamilifu. Maumbo mengine mengi hayafanyi hivyo. Lakini umbo lisiloweza kufunika kila kitu bado linaweza kuzungukwa na nakala zake lenyewe, kwa kubana, bila pengo wala kupishana. Pete kama hiyo ya nakala inaitwa korona (corona). Wakati mwingine korona ya pili inatoshea kuzunguka ya kwanza, kisha ya tatu. Idadi kubwa zaidi ya korona unazoweza kujenga ndiyo namba ya Heesch ya umbo hilo, iliyopewa jina la Heinrich Heesch.

Umbo linalofunika bapa lina namba ya Heesch isiyo na kikomo, na kinyume chake pia ni kweli. Kwa hiyo namba hii hupima jinsi umbo lisilofunika linavyokaribia kufunika.

Limekwama kwenye sita

Tatizo la Heesch linauliza kama namba za Heesch zenye kikomo zina dari. Katika bapa, maendeleo yamekuwa ya polepole, kwa mujibu wa makala: maumbo yenye namba ya Heesch 2, kisha 3, kisha 5 yalipatikana kwa miaka mingi, na 6 mwaka 2021, ambayo bado ni rekodi ya bapa. Umbo hilo lilipatikana na mwandishi wa makala mpya mwenyewe. Utafutaji mkubwa kwa kompyuta kupitia maumbo yaliyoundwa kwa miraba, pembesita au pembetatu haukuwahi kupata chochote juu ya 4.

Swali hili lina umuhimu zaidi ya mafumbo. Kama namba za Heesch zingekuwa na dari kwa familia ya maumbo yenye mantiki, mtu angeweza kuamua kama umbo linafunika bapa: jaribu tu kujenga korona moja zaidi ya kile dari inachoruhusu. Kama hilo linaweza kuamuliwa kwa umbo moja katika bapa bado haijulikani.

Hakuna dari katika vipimo vitatu

Bojan Bašić (Chuo Kikuu cha Novi Sad, Serbia) anamaliza swali hili katika nafasi. Kwa kila namba kamili h, anajenga gimba ambalo namba yake ya Heesch ina kikomo na ni angalau h. Kwa kuwa ujenzi wa vipimo vitatu unaweza kupanuliwa hadi vipimo vya juu zaidi, jambo hilohilo ni kweli katika kila kipimo kuanzia 3 na kuendelea. Bapa bado ni swali lililo wazi.

Ujenzi ni wa wazi na wa msingi. Umbo hilo limeundwa kwa michemraba kizio 48h + 64, iliyopambwa kwa vibonge vidogo na vijitundu vinavyolingana navyo.

Namba nne kwenye mstari

Kila kitu kinaanza na namba kamili nne:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Nakala zilizosogezwa za seti hii kamwe haziwezi kufunika namba kamili zote bila kupishana: makala inatoa uthibitisho mfupi. Hata hivyo zinaweza kujaza, bila mapengo, mfululizo wa namba kamili 4n² − 10n − 2 zinazofuatana, ingawa seti yenyewe inaenea 4n tu. Kukaribia-kufaulu kwa urefu huo ndicho hasa namba kubwa ya Heesch inachohitaji.

Kutoka nukta hadi michemraba

Mwandishi anaweka nukta hizo nne kando ya mwelekeo wa mshazari wa gridi ya michemraba, na kuunganisha kwa kila moja njia ileile iliyopinda: michemraba 2n kando ya mhimili mmoja, kisha ngazi moja juu na michemraba 2n kando ya mhimili mwingine. Njia hizo nne zinaungana kuwa kipande kimoja kilichoshikamana cha michemraba 16n. Kinarithi sifa zote mbili za namba hizo nne: hakiwezi kujaza nafasi, lakini nakala zake zinajaza mchemraba mzima wenye ukingo wa 4n² − 12n − 1.

Vibonge vidogo kwenye nyuso, kila kimoja kikitoshea kijitundu chake tu, vinazuia nakala zisizungushwe wala kupinduliwa, kwa hiyo majirani wanalazimika kupangana kwa usahihi kamili. Kisha, kuanzia nakala iliyo katikati ya mchemraba ule mkubwa uliojazwa, pete baada ya pete ya nakala zinaweza kubanduliwa kama korona. Kuchagua n = 3h + 4 kunahakikisha angalau h kati yake.

Nafasi kabla ya bapa

Makala inabainisha kwamba hili si swali la kwanza la kufunika kujibiwa katika nafasi kabla ya bapa. Gimba la aina maalum linalojaza nafasi, lililoulizwa na Hilbert, lilipatikana mwaka 1928, miaka saba kabla ya mwenzake wa bapa. Na gimba la vipimo vitatu lisilojirudia (aperiodic) lilijengwa mwaka 1988, takriban miongo mitatu na nusu kabla maumbo yasiyojirudia hayajagunduliwa katika bapa. Kama rekodi ya 6 ya bapa inaweza kuvunjwa bila kikomo ndiyo sehemu ya swali la Heesch ambayo bado inasubiri.