شکل‌هایی که تقریباً فضا را پر می‌کنند

مربع‌ها و شش‌ضلعی‌ها کف را بی‌نقص کاشی‌کاری می‌کنند. بسیاری از شکل‌های دیگر چنین نمی‌کنند. اما شکلی که نمی‌تواند همه جا را کاشی‌کاری کند، هنوز ممکن است با نسخه‌هایی از خودش، تنگ و بدون شکاف یا هم‌پوشانی، احاطه شود. چنین حلقه‌ای از نسخه‌ها را تاج (corona) می‌نامند. گاهی تاج دومی دور اولی جا می‌شود، سپس سومی. بیشترین تعداد تاجی که می‌توانید بسازید عدد هیش (Heesch number) آن شکل است، به نام هاینریش هیش.

شکلی که صفحه را کاشی‌کاری می‌کند عدد هیش بی‌نهایت دارد، و عکس آن نیز درست است. پس این عدد می‌سنجد که یک شکلِ کاشی‌ناپذیر چقدر به کاشی‌کاری نزدیک می‌شود.

گیرافتاده در شش

مسئلهٔ هیش می‌پرسد که آیا عددهای هیش متناهی سقفی دارند. به گفتهٔ مقاله، در صفحه پیشرفت کند بوده است: در طول سال‌ها شکل‌هایی با عدد هیش 2، سپس 3، سپس 5 یافت شدند، و 6 در 2021، که هنوز رکورد صفحه است. آن شکل را خود نویسندهٔ مقالهٔ تازه یافته بود. جست‌وجوهای رایانه‌ای بزرگ در میان شکل‌های ساخته‌شده از مربع‌ها، شش‌ضلعی‌ها یا مثلث‌ها هرگز چیزی بالاتر از 4 نیافتند.

اهمیت این پرسش فراتر از معماهاست. اگر عددهای هیش برای خانوادهٔ معقولی از شکل‌ها سقفی داشتند، می‌شد تصمیم گرفت که آیا یک شکل صفحه را کاشی‌کاری می‌کند یا نه: کافی بود بکوشید یک تاج بیش از آنچه سقف اجازه می‌دهد بسازید. اینکه آیا این امر برای یک شکل منفرد در صفحه تصمیم‌پذیر است هنوز ناشناخته است.

بی‌سقف در سه بعد

بویان باشیچ (دانشگاه نووی ساد، صربستان) این پرسش را در فضا حل می‌کند. برای هر عدد صحیح h، جسم صلبی می‌سازد که عدد هیش آن متناهی و دست‌کم h است. از آنجا که یک ساختار سه‌بعدی را می‌توان به ابعاد بالاتر گسترش داد، همین در هر بعد از 3 به بالا برقرار است. صفحه همچنان باز می‌ماند.

ساختار صریح و مقدماتی است. شکل از 48h + 64 مکعب واحد ساخته شده که با برآمدگی‌های کوچک و فرورفتگی‌های متناظر آراسته شده‌اند.

چهار عدد روی یک خط

همه چیز با چهار عدد صحیح آغاز می‌شود:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

نسخه‌های جابه‌جاشدهٔ این مجموعه هرگز نمی‌توانند همهٔ اعداد صحیح را بدون هم‌پوشانی بپوشانند: مقاله اثباتی کوتاه ارائه می‌دهد. با این حال می‌توانند، بدون شکاف، رشته‌ای از 4n² − 10n − 2 عدد صحیح متوالی را پر کنند، هرچند خود مجموعه تنها بازه‌ای به طول 4n را می‌پوشاند. نزدیک‌شدنی تا این حد طولانی، دقیقاً همان چیزی است که یک عدد هیش بزرگ نیاز دارد.

از نقطه‌ها به مکعب‌ها

نویسنده چهار نقطه را در امتداد یک جهت قطری در شبکه‌ای از مکعب‌ها قرار می‌دهد و به هر یک همان مسیر خمیده را می‌چسباند: 2n مکعب در امتداد یک محور، سپس یک تراز بالاتر و 2n مکعب در امتداد محوری دیگر. چهار مسیر در یک بلوک همبند واحد از 16n مکعب به هم می‌پیوندند. این بلوک هر دو ویژگی چهار عدد را به ارث می‌برد: نمی‌تواند فضا را پر کند، اما نسخه‌هایش مکعب کاملی به ضلع 4n² − 12n − 1 را پر می‌کنند.

برآمدگی‌های کوچک روی وجه‌ها، که هر یک تنها در فرورفتگی خودش جا می‌شود، از چرخاندن یا وارونه کردن نسخه‌ها جلوگیری می‌کنند، پس همسایه‌ها ناگزیر دقیقاً هم‌راستا می‌شوند. سپس، با آغاز از نسخه‌ای در مرکز آن مکعب بزرگِ پرشده، می‌توان حلقه پس از حلقه از نسخه‌ها را به‌عنوان تاج جدا کرد. انتخاب n = 3h + 4 تضمین می‌کند که دست‌کم h تاج وجود داشته باشد.

فضا پیش از صفحه

مقاله یادآوری می‌کند که این نخستین پرسش کاشی‌کاری نیست که در فضا پیش از صفحه پاسخ داده می‌شود. جسم صلب فضاپرکنی از نوعی خاص، که هیلبرت دربارهٔ آن پرسیده بود، در 1928 یافت شد، هفت سال پیش از همتای تختش. و یک جسم صلب نامتناوب سه‌بعدی در 1988 ساخته شد، حدود سه دهه و نیم پیش از آنکه شکل‌های نامتناوب در صفحه کشف شوند. اینکه آیا رکورد 6 در صفحه را می‌توان بی‌حد پشت سر گذاشت، بخشی از پرسش هیش است که هنوز در انتظار است.